Converta de coordenadas cartesianas retangulares ( x, y, z ) para cilíndricas ( r, \theta, z )
(4 \sqrt{3}, 4,-4)

Passo 1

O enunciado nos dá o ponto em coordenadas cartesianas (x,y,z)=(4\sqrt{3},4,-4) e pede para converter em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z). Para isso, precisamos usar que r=\sqrt{x^2+y^2} e que \theta é obtido por \arctan\frac{y}{x}, tomando cuidado com o quadrante. O valor de z permanece o mesmo.

Passo 2

Cálculo de r: substituindo x=4\sqrt{3} e y=4, temos
r=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+4^2}=\sqrt{48+16}=\sqrt{64}=8.

Passo 3

Cálculo de \theta: como x>0 e y>0, o ponto está no primeiro quadrante, logo
\theta=\arctan\frac{y}{x}=\arctan\frac{4}{4\sqrt{3}}=\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}.

Passo 4

O valor de z se mantém igual a -4 na conversão para cilíndricas.

Resposta

(r,\theta,z)=(8,\tfrac{\pi}{6},-4)

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