Converta as coordenadas esféricas ( \rho, \theta, \varphi ) em cartesianas ( x, y, z ) e cilíndricas ( r, \theta, z )
\left(6, \frac{5 \pi}{4}, \frac{2 \pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede a conversão de coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi)=(6,\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{2\pi}{3}) em cartesianas (x,y,z) e cilíndricas (r,\theta,z). Vamos usar as fórmulas de transformação de esféricas para cartesianas e depois extrair r e z para obter as coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Cálculo de \sin\varphi e \cos\varphi para \varphi=\tfrac{2\pi}{3}.
\sin\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=\tfrac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=-\tfrac12.

Passo 3

Cálculo de \cos\theta e \sin\theta para \theta=\tfrac{5\pi}{4}.
\cos\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr)=-\tfrac{\sqrt2}{2}, \qquad \sin\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr)=-\tfrac{\sqrt2}{2}.

Passo 4

Aplicando as fórmulas
x=\rho\sin\varphi\cos\theta, \quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta
com \rho=6, \sin\varphi=\tfrac{\sqrt3}{2}, \cos\theta=-\tfrac{\sqrt2}{2}, \sin\theta=-\tfrac{\sqrt2}{2}, obtemos
x=6\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) =-\tfrac{6\sqrt6}{4} =-\tfrac{3\sqrt6}{2},
y=6\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) =-\tfrac{3\sqrt6}{2}.

Passo 5

Para z usamos
z=\rho\cos\varphi =6\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr) =-3.

Passo 6

As coordenadas cilíndricas são (r,\theta,z) com
r=\sqrt{x^2+y^2} =\rho\sin\varphi =6\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} =3\sqrt3,
o mesmo ângulo \theta=\tfrac{5\pi}{4} e a mesma z=-3.

Resposta

As coordenadas cartesianas são
(x,y,z)=\Bigl(-\tfrac{3\sqrt6}{2},\,-\tfrac{3\sqrt6}{2},\,-3\Bigr).
As coordenadas cilíndricas são
(r,\theta,z)=\bigl(3\sqrt3,\;\tfrac{5\pi}{4},\;-3\bigr).

Exercícios relacionados