Converta as coordenadas de cilíndricas para esféricas.
Passo 1
O enunciado pede que se converta coordenadas cilíndricas para coordenadas esféricas. Os dados fornecidos (estou pegando-os do enunciado) são as coordenadas cilíndricas
O que se quer é a mesma posição escrita em coordenadas esféricas (usarei a notação
onde
é a distância à origem,
é o mesmo ângulo no plano
que aparece nas cilíndricas e
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo
positivo, medido de
a
).
Passo 2
Explicando as fórmulas que ligam coordenadas cilíndricas
às esféricas
— aqui cada símbolo significa:
-
= distância do ponto à origem (sempre ); -
= ângulo no plano (mesmo das coordenadas cilíndricas); -
= ângulo entre o vetor posição e o eixo positivo (colatitude), com .
As relações são
Outra forma útil, que dá o mesmo resultado com cuidado de quadrantes, é
, mas aí é preciso usar um arctan que coloque
no intervalo correto
. Vou usar a fórmula com
, que já produz
.
Passo 3
Calcular
com os valores fornecidos:
Simplificando
:
Portanto
.
Passo 4
Calcular
usando
. Substituindo:
Então
Sabe-se que
, logo
Passo 5
O ângulo
permanece o mesmo que nas coordenadas cilíndricas. Portanto
Passo 6
Juntando tudo: as coordenadas esféricas são
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para ficar tranquilo): das esféricas volta-se às cilíndricas por
confere com os dados originais.