Converta as coordenadas de cilíndricas para esféricas.
((6,1,-2 \sqrt{3}))

Passo 1

O enunciado pede que se converta coordenadas cilíndricas para coordenadas esféricas. Os dados fornecidos (estou pegando-os do enunciado) são as coordenadas cilíndricas
(r,\theta,z) = \left(6,\;1,\;-2\sqrt{3}\right).
O que se quer é a mesma posição escrita em coordenadas esféricas (usarei a notação (\rho,\theta,\varphi) onde \rho é a distância à origem, \theta é o mesmo ângulo no plano xy que aparece nas cilíndricas e \varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z positivo, medido de 0 a \pi).

Passo 2

Explicando as fórmulas que ligam coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) às esféricas (\rho,\theta,\varphi) — aqui cada símbolo significa:
  • \rho = distância do ponto à origem (sempre \ge 0);
  • \theta = ângulo no plano xy (mesmo \theta das coordenadas cilíndricas);
  • \varphi = ângulo entre o vetor posição e o eixo z positivo (colatitude), com 0\le\varphi\le\pi.
As relações são
\rho=\sqrt{r^{2}+z^{2}},
\theta_{\text{esf}}=\theta_{\text{cil}},
\cos\varphi=\frac{z}{\rho}\quad\text{ou equivalentemente}\quad \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{\rho}\right).
Outra forma útil, que dá o mesmo resultado com cuidado de quadrantes, é \tan\varphi=\dfrac{r}{z}, mas aí é preciso usar um arctan que coloque \varphi no intervalo correto (0,\pi). Vou usar a fórmula com \operatorname{arccos}, que já produz \varphi\in[0,\pi].

Passo 3

Calcular \rho com os valores fornecidos:
\rho=\sqrt{r^{2}+z^{2}}=\sqrt{6^{2}+(-2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{36+4\cdot 3}=\sqrt{36+12}=\sqrt{48}.
Simplificando \sqrt{48}:
\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}.
Portanto \rho=4\sqrt{3}.

Passo 4

Calcular \varphi usando \cos\varphi=\dfrac{z}{\rho}. Substituindo:
\cos\varphi=\frac{z}{\rho}=\frac{-2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=-\tfrac{1}{2}.
Então
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(-\tfrac{1}{2}\right).
Sabe-se que \cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}, logo
\varphi=\tfrac{2\pi}{3}.

Passo 5

O ângulo \theta permanece o mesmo que nas coordenadas cilíndricas. Portanto
\theta=1.

Passo 6

Juntando tudo: as coordenadas esféricas são
(\rho,\theta,\varphi)=\left(4\sqrt{3},\;1,\;\tfrac{2\pi}{3}\right).

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para ficar tranquilo): das esféricas volta-se às cilíndricas por
r=\rho\sin\varphi=4\sqrt{3}\cdot\sin\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6,
z=\rho\cos\varphi=4\sqrt{3}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-2\sqrt{3},
confere com os dados originais.

Resposta

\left(4\sqrt{3},\;1,\;\tfrac{2\pi}{3}\right)

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