Se \mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{bi} e \mathrm{w}=\mathrm{c}+ di são números complexos, então \frac{\bar{z}}{\bar{w}}=\frac{\bar{z} w}{c^{2}+d^{2}}.
Escolha uma opção:
◯ Falso
◯ Verdadeiro

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos \mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{bi} e \mathrm{w}=\mathrm{c}+\mathrm{di} e afirma a igualdade
\frac{\overline{z}}{\overline{w}}=\frac{\overline{z}\,w}{c^{2}+d^{2}}.
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa (assumindo que a divisão faz sentido, ou seja, \mathrm{w}\neq 0) e justificar passo a passo.

Passo 2

Lembranças úteis (explicadas de forma simples):
  • A conjugada de \mathrm{w}=\mathrm{c}+\mathrm{di} é \overline{w}=c-di. Aqui c e d são números reais.
  • Para calcular o inverso de um número complexo não nulo, usa-se a “racionalização” do denominador: se u=c-di com c,d\in\mathbb{R} e u\neq 0, então
\frac{1}{u}=\frac{1}{c-di}=\frac{c+di}{(c-di)(c+di)}=\frac{c+di}{c^{2}+d^{2}}.
Explicação do porquê: multiplicando numerador e denominador por c+di elimina-se a parte imaginária do denominador porque (c-di)(c+di)=c^{2}+d^{2} (já que i^{2}=-1).

Passo 3

Agora escrevemos a expressão do lado esquerdo de forma conveniente:
\frac{\overline{z}}{\overline{w}}=\overline{z}\cdot\frac{1}{\overline{w}}.
Aplicando a fórmula do inverso para \overline{w}=c-di (usando o resultado do passo anterior), obtemos
\frac{1}{\overline{w}}=\frac{c+di}{c^{2}+d^{2}}.
Portanto
\frac{\overline{z}}{\overline{w}}=\overline{z}\cdot\frac{c+di}{c^{2}+d^{2}}=\frac{\overline{z}\,(c+di)}{c^{2}+d^{2}}.

Passo 4

Mas \mathrm{w}=c+di. Substituindo isso na expressão do passo anterior, fica claro que
\frac{\overline{z}}{\overline{w}}=\frac{\overline{z}\,w}{c^{2}+d^{2}}.
Logo a igualdade do enunciado é verdadeira sempre que \mathrm{w}\neq 0 (porque dividimos por \overline{w} e por c^{2}+d^{2}, que é zero exatamente quando c=d=0, isto é, w=0).

Passo 5

Para dar um exemplo numérico e sentir que bate na prática, tome \mathrm{z}=1+2i e \mathrm{w}=3+4i. Então \overline{z}=1-2i e \overline{w}=3-4i. Calculando:
\frac{\overline{z}}{\overline{w}}=\frac{1-2i}{3-4i}=\frac{(1-2i)(3+4i)}{3^{2}+4^{2}}=\frac{11-2i}{25}.
E
\frac{\overline{z}\,w}{c^{2}+d^{2}}=\frac{(1-2i)(3+4i)}{3^{2}+4^{2}}=\frac{11-2i}{25},
mesmo resultado — confirma a igualdade.

Resposta

Verdadeiro

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