Calcule 2 i^{3}+3 i^{6}-i^{5}+4 i^{16}.
Escolha uma opção:
◯ a. 3-3i
◯ b. -1-3 i
◯ c. -1+3 i
◯ d. 3+3 i
◯ e. 1-3 i

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão
2 i^{3}+3 i^{6}-i^{5}+4 i^{16}
e escolher a alternativa correta entre as opções dadas. Informação relevante: os coeficientes são 2, 3, -1 e 4, e os expoentes são 3, 6, 5 e 16.

Passo 2

Para resolver isso precisamos saber como funcionam as potências da unidade imaginária i. Vamos lembrar os primeiros valores e perceber um padrão. Tem-se:
i^{1}=i,
i^{2}=-1,
i^{3}=-i,
i^{4}=1.
Repare que após i^{4} os valores repetem em ciclo de período 4. Isso é a ideia-chave: as potências de i são periódicas de período 4.

Passo 3

Explicando a redução de expoentes de forma prática: para qualquer inteiro n,
i^{n}=i^{r},
onde r é o resto da divisão de n por 4 (ou seja r\equiv n\pmod{4}), com a tabela de correspondência
\text{se }r=0\Rightarrow i^{n}=1,\qquad r=1\Rightarrow i^{n}=i,\qquad r=2\Rightarrow i^{n}=-1,\qquad r=3\Rightarrow i^{n}=-i.
Esse é o método rápido para calcular i elevado a expoentes grandes ou quaisquer inteiros.

Passo 4

Agora reduzimos cada potência na expressão usando a regra do resto mod 4.
Para i^{3}: o resto de 3 por 4 é 3, então
i^{3}=-i.
Para i^{6}: o resto de 6 por 4 é 2, então
i^{6}=i^{2}=-1.
Para i^{5}: o resto de 5 por 4 é 1, então
i^{5}=i.
Para i^{16}: o resto de 16 por 4 é 0, então
i^{16}=1.

Passo 5

Substituindo esses resultados na expressão original e calculando termo a termo:
2 i^{3}=2\cdot(-i)=-2i,
3 i^{6}=3\cdot(-1)=-3,
-i^{5}=-\,i,
4 i^{16}=4\cdot1=4.
Somando todos:
-2i+(-3)+(-i)+4 = (-3+4)+(-2i - i) = 1 - 3i.
Portanto o valor da expressão é 1-3i.

Resposta

(e) 1-3 i

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