Converta as coordenadas de cilíndricas para retangulares.
(4, \pi / 2,-1)

Passo 1

O enunciado pede para converter as coordenadas cilíndricas para coordenadas retangulares. Os dados fornecidos são o triplo \,(4,\pi/2,-1)\,, ou seja:
  • \;r=4\; (distância radial ao eixo z),
  • \;\theta=\pi/2\; (ângulo em relação ao eixo x no plano xy),
  • \;z=-1\; (altura).
O objetivo é encontrar as coordenadas cartesianas (retangulares) \,(x,y,z) correspondentes.

Passo 2

As fórmulas de conversão de cilíndricas \,(r,\theta,z)\, para retangulares \,(x,y,z)\, são:
x = r\cos\theta
y = r\sin\theta
z = z
Explicando cada símbolo:
  • \;r\; é a distância do ponto ao eixo z (sempre não negativa).
  • \;\theta\; é o ângulo medido a partir do eixo x no sentido anti-horário.
  • \;z\; é a mesma coordenada z das duas representações (altura).
    Essas fórmulas vêm do fato de que, no plano xy, a projeção do ponto forma um vetor de módulo \;r\; e direção \;\theta\;; daí as componentes x e y são r vezes as projeções coseno e seno do ângulo.

Passo 3

Calcular os valores de \cos\theta e \sin\theta para \theta=\pi/2. No círculo unitário:
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1
Esses valores são exatos: \cos(\pi/2)=0 porque o ponto correspondente no círculo unitário está no eixo y, e \sin(\pi/2)=1 porque sua coordenada y vale 1.

Passo 4

Aplicar as fórmulas com \;r=4\; e os valores trigonométricos encontrados:
x = r\cos\theta = 4\cdot\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4\cdot 0 = 0
y = r\sin\theta = 4\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4\cdot 1 = 4
z = -1
Portanto as componentes calculadas são \;x=0\;, \;y=4\;, \;z=-1\;.

Passo 5

Checagem rápida e interpretação geométrica: o ponto resultante está sobre o eixo positivo y à distância \;4\; da origem no plano xy, e tem altura \;z=-1\; (ou seja, 1 unidade abaixo do plano xy). O valor de x é exatamente \;0\;, não um arredondamento.

Passo 6

Um exemplo extra, para fixar: se fosse (2,0,3) em cilíndricas, teríamos \cos 0=1, \sin 0=0, logo em retangulares (x,y,z)=(2,0,3). Isso mostra como as fórmulas se aplicam facilmente dependendo do ângulo.

Resposta

(0,4,-1)

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