Converta as coordenadas de cilíndricas para retangulares.
(4, \pi / 6,3)

Passo 1

O enunciado pede: converter as coordenadas cilíndricas \,(4,\; \pi/6,\; 3)\, para coordenadas retangulares.
Informações dadas:
  • r=4 (distância radial do eixo z),
  • \theta=\pi/6 (ângulo no plano xy, medido a partir do eixo x),
  • z=3 (altura ao longo do eixo z).
    A pergunta é: encontrar (x,y,z) correspondentes.

Passo 2

Fórmulas de conversão (explicação do que cada variável significa):
  • \,x = r\cos\theta\,: multiplica-se a distância radial r pela projeção na direção x dada por \cos\theta.
  • \,y = r\sin\theta\,: multiplica-se r pela projeção na direção y dada por \sin\theta.
  • \,z = z\,: a coordenada z é a mesma em ambos os sistemas.
    Essas fórmulas vêm de decompor o vetor radial no plano xy nas componentes x e y.

Passo 3

Calcular \cos\theta e \sin\theta para \theta=\pi/6. No triângulo de 30^\circ (ou \pi/6):
  • \displaystyle \cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
  • \displaystyle \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.
    Esses valores são padrões da trigonometria (triângulo 30–60–90).

Passo 4

Aplicar as fórmulas com r=4, \cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin\theta=\dfrac{1}{2} e z=3:
x = r\cos\theta = 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3},
y = r\sin\theta = 4\cdot\frac{1}{2} = 2,
z = 3.
Mostrar os passos aritméticos: 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{2}\sqrt{3}=2\sqrt{3} e 4\cdot\frac{1}{2}=2.

Passo 5

Checagem rápida (sanity check): \theta=\pi/6 está no primeiro quadrante, então x e y devem ser ambos positivos — e encontramos 2\sqrt{3}>0 e 2>0, coerente. Um exemplo extra para treinar: (r,\theta,z)=(1,\pi/2,0) vira (x,y,z)=(0,1,0) usando as mesmas fórmulas.

Resposta

(2\sqrt{3},\;2,\;3)

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