Converta de coordenadas cilíndricas ( r, \theta, z ) para esféricas ( \rho, \theta, \varphi )
\left(1, \frac{\pi}{4},-1\right)

Passo 1

O enunciado dá um ponto em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z)=(1,\tfrac{\pi}{4},-1) e pede para converter para coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi). Vamos usar as definições
\rho = \sqrt{r^2 + z^2}, \quad \theta_{\text{esf}} = \theta_{\text{cil}}, \quad \varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{z}{\rho}\bigr).

Passo 2

Calculemos primeiro \rho. Como r=1 e z=-1,
\rho = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.

Passo 3

O ângulo \theta em esféricas é o mesmo de cilíndricas, logo
\theta = \frac{\pi}{4}.

Passo 4

Agora \varphi satisfaz \cos\varphi = \tfrac{z}{\rho} = \tfrac{-1}{\sqrt{2}} = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}. Assim
\varphi = \operatorname{arccos}\bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) = \frac{3\pi}{4},
pois o ponto está com z<0, ficando \varphi\in(\tfrac{\pi}{2},\pi).

Resposta

(\rho,\theta,\varphi) = \Bigl(\sqrt{2},\;\frac{\pi}{4},\;\frac{3\pi}{4}\Bigr).

Exercícios relacionados