Converta de coordenadas esféricas ( \rho, \theta, \varphi ) para retangulares ( x, y, z )
\left(2, \frac{3 \pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto em coordenadas esféricas \bigl(\rho,\theta,\varphi\bigr)=(2,\tfrac{3\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}) para coordenadas retangulares (x,y,z). O conteúdo envolve a relação entre as duas representações, usando trigonometria para mapear \rho, \theta e \varphi em x, y e z.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = \rho\,\sin(\varphi)\,\cos(\theta),\quad y = \rho\,\sin(\varphi)\,\sin(\theta),\quad z = \rho\,\cos(\varphi).
Agora substituímos \rho=2, \theta=\tfrac{3\pi}{2} e \varphi=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Calculemos as funções trigonométricas:
\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1,\quad \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,\quad \cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0,\quad \sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-1.
Logo,
x = 2\cdot1\cdot0 = 0,\quad y = 2\cdot1\cdot(-1) = -2,\quad z = 2\cdot0 = 0.

Resposta

(x,y,z) = (0,\,-2,\,0)

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