Converta as coordenadas de retangulares para esféricas.
(2,0,0)

Passo 1

O enunciado pede: converter as coordenadas retangulares (cartesianas) para coordenadas esféricas do ponto dado. As informações fornecidas são:
  • As coordenadas cartesianas do ponto são (2,0,0). Ou seja,
x=2,\qquad y=0,\qquad z=0.
O que se quer é a representação desse mesmo ponto em coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi).

Passo 2

Definição e convenção que vamos usar (muito importante): as coordenadas esféricas serão (\rho,\theta,\varphi) com
  • \rho\ge 0 é a distância do ponto à origem (o “raio”),
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x positivo no sentido anti-horário, com 0\le \theta<2\pi,
  • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo (ou seja, \varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z), com 0\le \varphi\le\pi.
As fórmulas de conversão de retangulares (x,y,z) para esféricas (\rho,\theta,\varphi) são:
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
\theta=\operatorname{atan2}(y,x),
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{\rho}\right).
Aqui explico o que é cada fórmula:
  • A fórmula de \rho vem da distância euclidiana no espaço: distância da origem até (x,y,z).
  • \operatorname{atan2}(y,x) é a variante do arco-tangente que dá o ângulo correto em todos os quadrantes levando em conta sinais de x e y. Quando x>0 e y=0, \operatorname{atan2}(0,x)=0.
  • A fórmula de \varphi vem da relação entre a componente z e o comprimento radial \rho: \cos\varphi=z/\rho. Se \rho=0 a direção é indeterminada, mas aqui \rho\neq0.

Passo 3

Calcular \rho para o ponto (x,y,z)=(2,0,0):
\rho=\sqrt{2^{2}+0^{2}+0^{2}}=\sqrt{4}=2.
Interpretação: o ponto está a distância 2 da origem.

Passo 4

Calcular \theta. Usamos \theta=\operatorname{atan2}(y,x). Como y=0 e x=2>0, temos
\theta=\operatorname{atan2}(0,2)=0.
Explicação intuitiva: no plano xy o ponto projeta-se em (2,0), que fica sobre o eixo x positivo, portanto o ângulo medido a partir do eixo x é 0. Observação: \theta também pode ser representado por 2\pi (ou por 0+2k\pi) como ângulo equivalente, mas a escolha padrão é \theta=0.

Passo 5

Calcular \varphi. Usamos \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{z}{\rho}\right). Aqui z=0 e \rho=2, então
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{0}{2}\right)=\operatorname{arccos}(0).
E sabe-se que \operatorname{arccos}(0)=\dfrac{\pi}{2} (noventa graus em radianos). Intuição: \varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z; como o ponto está no plano xy ( z=0), esse ângulo é 90^\circ, ou seja \pi/2.

Passo 6

Reunindo os resultados: \rho=2, \theta=0, \varphi=\dfrac{\pi}{2}. Portanto uma representação esférica padrão do ponto é
(\rho,\theta,\varphi)=\left(2,\,0,\,\frac{\pi}{2}\right).
Observações finais (úteis para prova): há representações equivalentes por adicionar 2\pi a \theta (por exemplo \theta=2\pi) ou por usar \rho negativo combinado com mudança de ângulos, mas a forma mais direta e convencional é a apresentada acima.

Resposta

\displaystyle \left(2,\,0,\,\frac{\pi}{2}\right)

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