Converta as coordenadas de retangulares para esféricas.
Passo 1
O enunciado pede: converter as coordenadas retangulares (cartesianas) para coordenadas esféricas do ponto dado. As informações fornecidas são:
- As coordenadas cartesianas do ponto são
. Ou seja,
O que se quer é a representação desse mesmo ponto em coordenadas esféricas
.
Passo 2
Definição e convenção que vamos usar (muito importante): as coordenadas esféricas serão
com
-
é a distância do ponto à origem (o “raio”), -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo positivo no sentido anti-horário, com , -
é o ângulo polar medido a partir do eixo positivo (ou seja, é o ângulo entre o vetor posição e o eixo ), com .
As fórmulas de conversão de retangulares
para esféricas
são:
Aqui explico o que é cada fórmula:
- A fórmula de
vem da distância euclidiana no espaço: distância da origem até . -
é a variante do arco-tangente que dá o ângulo correto em todos os quadrantes levando em conta sinais de e . Quando e , . - A fórmula de
vem da relação entre a componente e o comprimento radial : . Se a direção é indeterminada, mas aqui .
Passo 3
Calcular
para o ponto
:
Interpretação: o ponto está a distância
da origem.
Passo 4
Calcular
. Usamos
. Como
e
, temos
Explicação intuitiva: no plano
o ponto projeta-se em
, que fica sobre o eixo
positivo, portanto o ângulo medido a partir do eixo
é
. Observação:
também pode ser representado por
(ou por
) como ângulo equivalente, mas a escolha padrão é
.
Passo 5
Calcular
. Usamos
. Aqui
e
, então
E sabe-se que
(noventa graus em radianos). Intuição:
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo
; como o ponto está no plano
(
), esse ângulo é
, ou seja
.
Passo 6
Reunindo os resultados:
,
,
. Portanto uma representação esférica padrão do ponto é
Observações finais (úteis para prova): há representações equivalentes por adicionar
a
(por exemplo
) ou por usar
negativo combinado com mudança de ângulos, mas a forma mais direta e convencional é a apresentada acima.