Converta as coordenadas de retangulares para esféricas.
Passo 1
O enunciado dá o ponto em coordenadas retangulares
e pede a conversão para coordenadas esféricas. Vou listar claramente o que foi dado:
O objetivo é encontrar os valores
,
e
que representam o mesmo ponto em coordenadas esféricas.
Passo 2
Vou explicar a convenção de esféricas que vou usar (a mais comum em geometria/matemática):
-
é a distância radial do ponto à origem (sempre ). -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo positivo no sentido anti-horário; costuma-se tomar ou . -
é o ângulo polar (colatitude), medido a partir do eixo positivo para baixo; .
As fórmulas de conversão de retangulares
para esféricas
são:
Vou aplicar cada uma dessas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Calcular
:
Agora computando os quadrados:
Somando:
Passo 4
Calcular
. Primeiro a razão:
A função arctan dá
(um ângulo de
). Agora preciso olhar o quadrante com base nos sinais de
e
: aqui
e
, portanto o ponto está no quarto quadrante do plano
. O valor
já corresponde ao quarto quadrante. Se preferir
no intervalo
, pode-se somar
e obter
Vou adotar a forma principal
(valor em
).
Passo 5
Calcular
usando
. Primeiro a razão:
Então
Conhecendo os ângulos notáveis,
(ou
). Portanto
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas útil para pegar confiança): as fórmulas inversas são
Calculo
e
para
:
Então
. Para
temos
Logo
Recuperamos exatamente o ponto original, então os valores encontrados estão corretos.