Converta as coordenadas de retangulares para esféricas.
(1,-\sqrt{3},-2)

Passo 1

O enunciado dá o ponto em coordenadas retangulares (x,y,z)= (1,-\sqrt{3},-2) e pede a conversão para coordenadas esféricas. Vou listar claramente o que foi dado:
  • x=1
  • y=-\sqrt{3}
  • z=-2
O objetivo é encontrar os valores \rho, \theta e \varphi que representam o mesmo ponto em coordenadas esféricas.

Passo 2

Vou explicar a convenção de esféricas que vou usar (a mais comum em geometria/matemática):
  • \rho é a distância radial do ponto à origem (sempre \rho\ge0).
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo positivo x no sentido anti-horário; costuma-se tomar \theta\in[0,2\pi) ou \theta\in(-\pi,\pi].
  • \varphi é o ângulo polar (colatitude), medido a partir do eixo positivo z para baixo; \varphi\in[0,\pi].
As fórmulas de conversão de retangulares (x,y,z) para esféricas (\rho,\theta,\varphi) são:
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
\theta=\operatorname{atan2}(y,x)\quad\text{(escolhe o quadrante correto)},
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{\rho}\right).
Vou aplicar cada uma dessas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calcular \rho:
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}+(-2)^{2}.
Agora computando os quadrados:
1^{2}=1,\qquad (-\sqrt{3})^{2}=3,\qquad (-2)^{2}=4.
Somando:
\rho=\sqrt{1+3+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.

Passo 4

Calcular \theta. Primeiro a razão:
\frac{y}{x}=\frac{-\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}.
A função arctan dá \arctan(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3} (um ângulo de -60^\circ). Agora preciso olhar o quadrante com base nos sinais de x e y: aqui x>0 e y<0, portanto o ponto está no quarto quadrante do plano xy. O valor -\frac{\pi}{3} já corresponde ao quarto quadrante. Se preferir \theta no intervalo [0,2\pi), pode-se somar 2\pi e obter
\theta=-\frac{\pi}{3}\quad\text{ou equivalently}\quad \theta=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}.
Vou adotar a forma principal \theta=\frac{5\pi}{3} (valor em [0,2\pi)).

Passo 5

Calcular \varphi usando \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{z}{\rho}\right). Primeiro a razão:
\frac{z}{\rho}=\frac{-2}{2\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Então
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Conhecendo os ângulos notáveis, \operatorname{arccos}\!\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{3\pi}{4} (ou 135^\circ). Portanto
\varphi=\frac{3\pi}{4}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas útil para pegar confiança): as fórmulas inversas são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
Calculo \sin\varphi e \cos\varphi para \varphi=\dfrac{3\pi}{4}:
\sin\varphi=\sin\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\varphi=\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Então \rho\sin\varphi=2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2. Para \theta=\dfrac{5\pi}{3} temos
\cos\theta=\cos\!\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{1}{2},\qquad \sin\theta=\sin\!\left(\frac{5\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
x=\rho\sin\varphi\cos\theta=2\cdot\frac{1}{2}=1,
y=\rho\sin\varphi\sin\theta=2\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\sqrt{3},
z=\rho\cos\varphi=2\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-2.
Recuperamos exatamente o ponto original, então os valores encontrados estão corretos.

Resposta

\left(2\sqrt{2},\,\dfrac{5\pi}{3},\,\dfrac{3\pi}{4}\right)

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