Converta as coordenadas de retangulares para esféricas.
Passo 1
O enunciado pede converter as coordenadas retangulares para esféricas do ponto dado. As informações fornecidas são:
- Coordenadas retangulares (cartesianas):
, , .
O que é pedido:
- Encontrar as coordenadas esféricas
correspondentes a esse ponto.
Passo 2
Definir claramente as coordenadas esféricas que vou usar (convenção matemática padrão):
-
é a distância do ponto à origem (raio): . -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo positivo no sentido anti-horário (ou seja, a projeção no plano faz ângulo com o eixo ). -
é o ângulo polar (ou colatitude), medido a partir do eixo positivo até o vetor posição.
As fórmulas de conversão cartesianas
esféricas (com esta convenção) são:
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo ao ponto dado.
Passo 3
Calcular
:
Calcule cada termo:
Somando:
Simplificando
:
Portanto,
.
Passo 4
Calcular
(ângulo azimutal):
Como e
, a razão
e o ângulo no primeiro quadrante é
Como
Observação didática rápida: usar
evita ambiguidades de quadrante; aqui não há problema porque
.
Passo 5
Calcular
(ângulo polar):
Usar . Primeiro computar a razão:
Usar
Logo
Sabendo as razões trigonométricas comuns,
. Portanto,
.
Passo 6
Verificação rápida (voltar para cartesiano) para garantir consistência:
As fórmulas inversas são
As fórmulas inversas são
Com
,
,
temos
Então
Recuperamos exatamente as coordenadas originais, então a conversão está correta.