Converta as coordenadas de retangulares para esféricas.
(4,4,4 \sqrt{6})

Passo 1

O enunciado pede converter as coordenadas retangulares para esféricas do ponto dado. As informações fornecidas são:
  • Coordenadas retangulares (cartesianas): x=4, y=4, z=4\sqrt{6}.
O que é pedido:
  • Encontrar as coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi) correspondentes a esse ponto.

Passo 2

Definir claramente as coordenadas esféricas que vou usar (convenção matemática padrão):
  • \rho é a distância do ponto à origem (raio): \rho\ge0.
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x positivo no sentido anti-horário (ou seja, a projeção no plano xy faz ângulo \theta com o eixo x).
  • \varphi é o ângulo polar (ou colatitude), medido a partir do eixo z positivo até o vetor posição.
As fórmulas de conversão cartesianas \to esféricas (com esta convenção) são:
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
\theta=\operatorname{atan2}(y,x)\quad\text{(ou simplesmente }\theta=\arctan\!\tfrac{y}{x}\text{ quando }x>0\text{)},
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{z}{\rho}\right).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo ao ponto dado.

Passo 3

Calcular \rho:
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} =\sqrt{4^{2}+4^{2}+\bigl(4\sqrt{6}\bigr)^{2}}.
Calcule cada termo:
4^{2}=16,\qquad 4^{2}=16,\qquad \bigl(4\sqrt{6}\bigr)^{2}=16\cdot 6=96.
Somando:
\rho=\sqrt{16+16+96}=\sqrt{128}.
Simplificando \sqrt{128}:
128=64\cdot 2\quad\Rightarrow\quad \sqrt{128}=8\sqrt{2}.
Portanto, \rho=8\sqrt{2}.

Passo 4

Calcular \theta (ângulo azimutal):
Como x=4>0 e y=4>0, a razão \dfrac{y}{x}=1 e o ângulo no primeiro quadrante é
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}.
Observação didática rápida: usar \operatorname{atan2}(y,x) evita ambiguidades de quadrante; aqui não há problema porque x>0.

Passo 5

Calcular \varphi (ângulo polar):
Usar \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{z}{\rho}\right). Primeiro computar a razão:
\dfrac{z}{\rho}=\dfrac{4\sqrt{6}}{8\sqrt{2}}=\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{6}{2}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Sabendo as razões trigonométricas comuns, \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{\pi}{6}. Portanto, \varphi=\dfrac{\pi}{6}.

Passo 6

Verificação rápida (voltar para cartesiano) para garantir consistência:
As fórmulas inversas são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
Com \rho=8\sqrt{2}, \theta=\dfrac{\pi}{4}, \varphi=\dfrac{\pi}{6} temos
\sin\varphi=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2},\qquad \cos\varphi=\dfrac{\sqrt{3}}{2},
\cos\theta=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Então
x=\rho\sin\varphi\cos\theta=8\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=4,
y=\rho\sin\varphi\sin\theta=8\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=4,
z=\rho\cos\varphi=8\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{2}\sqrt{3}=4\sqrt{6}.
Recuperamos exatamente as coordenadas originais, então a conversão está correta.

Resposta

\left(8\sqrt{2},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{6}\right)

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