Converta de coordenadas retangulares ( x, y, z ) para esféricas ( \rho, \theta, \varphi )
(0,3 \sqrt{3}, 3)

Passo 1

O enunciado dá o ponto em coordenadas retangulares (x,y,z)=(0,3\sqrt{3},3) e pede para convertê-lo em coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi) usando a convenção
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi.
Vamos calcular em sequência \rho, depois \theta e por fim \varphi.

Passo 2

Calcular \rho pelo raio vetor:
\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2} =\sqrt{0^2+(3\sqrt{3})^2+3^2} =\sqrt{0+27+9} =\sqrt{36} =6.

Passo 3

Determinar \theta, o ângulo de projeção no plano xy. Como x=0 e y=3\sqrt{3}>0, o ponto fica no eixo positivo de y, logo
\theta=\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Determinar \varphi a partir de z=\rho\cos\varphi. Temos
\cos\varphi=\frac{z}{\rho}=\frac{3}{6}=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \varphi=\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac12\bigr)=\frac{\pi}{3}.

Resposta

(\rho,\theta,\varphi)=\Bigl(6,\;\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{3}\Bigr).

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