Converta de coordenadas retangulares ( x, y, z ) para esféricas ( \rho, \theta, \varphi )
(-5 \sqrt{3}, 5,0)

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto dado em coordenadas retangulares (x,y,z) para coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi). Em esféricas, usamos:
\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},\quad \theta = \operatorname{atan2}(y,x),\quad \varphi = \operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{z}{\rho}\bigr).
Vamos calcular \rho, depois \theta (considerando o quadrante) e por fim \varphi.

Passo 2

Para achar \rho, aplicamos \rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} com x = -5\sqrt{3}, y = 5, z = 0. Assim,
\rho = \sqrt{\bigl(-5\sqrt{3}\bigr)^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{75 + 25} = \sqrt{100} = 10.

Passo 3

Para \theta, usamos \theta = \operatorname{atan2}(y,x). Primeiro calculamos o ângulo de referência
\alpha = \arctan\!\bigl(\tfrac{|y|}{|x|}\bigr) = \arctan\!\bigl(\tfrac{5}{5\sqrt{3}}\bigr) = \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) = \tfrac{\pi}{6}.
Como x<0 e y>0, o ponto está no segundo quadrante, logo
\theta = \pi - \alpha = \pi - \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{5\pi}{6}.

Passo 4

Para \varphi, usamos
\varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{z}{\rho}\bigr) = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{0}{10}\bigr) = \operatorname{arccos}(0) = \tfrac{\pi}{2}.

Resposta

(\rho,\theta,\varphi) = \bigl(10,\;\tfrac{5\pi}{6},\;\tfrac{\pi}{2}\bigr).

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