Converta de coordenadas retangulares ( x, y, z ) para esféricas ( \rho, \theta, \varphi )
(\sqrt{2},-\sqrt{2}, 2 \sqrt{3})

Passo 1

O enunciado pede a conversão do ponto dado em coordenadas retangulares para coordenadas esféricas. Temos o ponto
(x,y,z) = (\sqrt{2},\, -\sqrt{2},\, 2\sqrt{3})
e queremos encontrar (\rho,\theta,\varphi) sujeitos às definições
\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},\quad \theta = \text{ângulo azimutal no plano \(xy\)},\quad \varphi = \operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{z}{\rho}\bigr).â

Passo 2

Calculamos o raio \rho a partir da distância ao ponto de origem:
\rho = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{2 + 2 + 12} = \sqrt{16} = 4.

Passo 3

Para o ângulo azimutal \theta no plano xy, usamos
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr).
Aqui x=\sqrt{2}>0 e y=-\sqrt{2}<0, logo estamos no quarto quadrante. Calculamos
\arctan\!\bigl(\tfrac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\bigr) = \arctan(-1) = -\tfrac{\pi}{4},
que, expresso no intervalo [0,2\pi), corresponde a
\theta = 2\pi - \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{7\pi}{4}.

Passo 4

Para o ângulo polar \varphi, usamos
\varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{z}{\rho}\bigr) = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2\sqrt{3}}{4}\bigr) = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) = \tfrac{\pi}{6}.

Resposta

\rho = 4,\quad \theta = \tfrac{7\pi}{4},\quad \varphi = \tfrac{\pi}{6}.

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