Converta de coordenadas esféricas ( \rho, \theta, \varphi ) para retangulares ( x, y, z )
\left(5, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá um ponto em coordenadas esféricas \bigl(\rho,\theta,\varphi\bigr) = \bigl(5,\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4}\bigr) e pede as coordenadas retangulares (x,y,z). O conteúdo é conversão entre sistemas de coordenadas, e vamos precisar usar as fórmulas
x = \rho\,\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\,\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\,\cos\varphi.

Passo 2

Calculamos os valores trigonométricos para \theta=\tfrac{\pi}{6} e \varphi=\tfrac{\pi}{4}:
\cos\theta = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{\sqrt3}{2},\quad \sin\theta = \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac12,
\cos\varphi = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt2}{2},\quad \sin\varphi = \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt2}{2}.

Passo 3

Agora substituímos em x = \rho\,\sin\varphi\cos\theta:
x = 5 \times \tfrac{\sqrt2}{2} \times \tfrac{\sqrt3}{2} = 5\,\frac{\sqrt6}{4} = \frac{5\sqrt6}{4}.

Passo 4

De modo semelhante, para y e z:
y = 5 \times \tfrac{\sqrt2}{2} \times \tfrac12 = 5\,\frac{\sqrt2}{4} = \frac{5\sqrt2}{4},
z = 5 \times \tfrac{\sqrt2}{2} = \frac{5\sqrt2}{2}.

Resposta

\left(\frac{5\sqrt6}{4}, \frac{5\sqrt2}{4}, \frac{5\sqrt2}{2}\right)

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