Converta a integral integral0^1 integral0^raiz1-y^2 integral0^x(x^2+y^2) d z d x d y em uma integral equivalente em coordenadas cilíndricas e calcule o resultado.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a integral original faz. Ela integra x^2+y^2 sobre a região em que 0<= y<=1, 0<= x<=raiz1-y^2 (um quarto de círculo no 1º quadrante) e 0<= z<= x. O conteúdo é transformação de coordenadas cartesianas para cilíndricas, usando x=rcostheta, y=rsintheta e z=z.

Passo 2

Descrição da região em coordenadas cilíndricas: no plano xy temos r de 0 a 1 e theta de 0 a pi/2. A altura z varia de 0 até x=rcostheta.

Passo 3

Fazendo a troca de variáveis, o integrando x^2+y^2 vira r^2 e o jacobiano traz um fator r. Assim a integral se escreve:
integraltheta=0^pi/2integralr=0^1integralz=0^rcostheta r^2cdot r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em z. Como r e theta são constantes nessa etapa, temos:
integralz=0^rcosthetar^3,dz = r^3l[rcosthetar] = r^4costheta

Passo 5

Agora integramos em r de 0 a 1:
integralr=0^1r^4costheta,dr = costhetaintegral0^1r^4,dr = costhetacdot15

Passo 6

Por fim, integramos em theta de 0 a pi/2:
integral0^pi/215costheta,dtheta = 15l[sinthetar]0^pi/2 = 15

Resposta

15

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