Converta a integral
em uma integral equivalente em coordenadas cilíndricas e calcule o resultado.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a integral original faz. Ela integra
sobre a região em que
,
(um quarto de círculo no 1º quadrante) e
. O conteúdo é transformação de coordenadas cartesianas para cilíndricas, usando
,
e
.
Passo 2
Descrição da região em coordenadas cilíndricas: no plano
temos
de 0 a 1 e
de 0 a
. A altura
varia de 0 até
.
Passo 3
Fazendo a troca de variáveis, o integrando
vira
e o jacobiano traz um fator
. Assim a integral se escreve:
Passo 4
Primeiro integramos em
. Como
e
são constantes nessa etapa, temos:
Passo 5
Agora integramos em
de 0 a 1:
Passo 6
Por fim, integramos em
de 0 a
: