Calcule as seguintes integrais definidas:
c integral0^pi / 2 x e^x cos (x) d x integral-1^1 14-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais definidas: a primeira envolve a função x e^x cos x no intervalo de 0 a pi/2, e a segunda envolve a função 1/(4 - x^2) de -1 a 1. Vamos usar integração por partes para a primeira e frações parciais (além da propriedade de paridade) para a segunda.

Passo 2

Para integral x e^x cos x,dx, aplicamos integração por partes escolhendo u = x e dv = e^x cos x,dx. Aí temos du = dx e precisamos achar v = integral e^x cos x,dx.
Sabemos que integral e^xcos x,dx = tfrace^x2(sin x + cos x). Substituindo na fórmula de partes, obtemos a primitiva geral
integral x e^xcos x,dx = e^x2l[x(sin x + cos x) - sin xr] + C

Passo 3

Agora avaliamos entre 0 e pi/2. Em x = pi/2 temos sin(pi/2)=1, cos(pi/2)=0, resultando em
e^pi/22l(pi2 - 1r)
Em x=0 a expressão dá zero. Logo a primeira integral vale
e^pi/22l(pi2 - 1r)

Passo 4

Para integral-1^1 14 - x^2,dx, note que a função é par, pois f(-x) = f(x). Então
integral-1^1 14 - x^2,dx = 2integral0^1 14 - x^2,dx

Passo 5

Fazendo frações parciais:
14 - x^2 = 1/42 - x + 1/42 + x
Integrando de 0 a 1 obtemos
14l[-ln|2 - x| + ln|2 + x|r]0^1 = ln 34
Multiplicando por 2, a segunda integral é
ln 32

Resposta

integral0^pi/2 x e^x cos x,dx = e^pi/22l(pi2 - 1r)
integral-1^1 14 - x^2,dx = ln 32

Exercícios relacionados