Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular duas integrais definidas: a primeira envolve a função
no intervalo de 0 a
, e a segunda envolve a função
de -1 a 1. Vamos usar integração por partes para a primeira e frações parciais (além da propriedade de paridade) para a segunda.
Passo 2
Para
, aplicamos integração por partes escolhendo
e
. Aí temos
e precisamos achar
.
Sabemos que . Substituindo na fórmula de partes, obtemos a primitiva geral
Sabemos que
Passo 3
Agora avaliamos entre 0 e
. Em
temos
,
, resultando em
Em
a expressão dá zero. Logo a primeira integral vale
Passo 4
Para
, note que a função é par, pois
. Então
Passo 5
Fazendo frações parciais:
Integrando de 0 a 1 obtemos
Multiplicando por 2, a segunda integral é