Sejam as afirmações :
I) A equação x^2-y^2+z^22=1 representa um hiperbolóide de duas folhas.
II) Os traços x=0, y=0 e z=0 da superficie x^29-y^216-z^225=1 são, respectivamente, elipse, hipérbole e hipérbole.
III) Todas as seções z=k da superficie x^24+y^215-z^23=0 são hipérboles.
Marque a alternativa correta:
Escolha uma opção:
a. Apenas as afirmações I) e II) são verdadeiras
b. Apenas a afirmação I é verdadeira
c. Todas as afirmações são falsas.
d. Todas as afirmações são verdadeiras.
e. Apenas as afirmações II) e III) são verdadeiras.

Passo 1

Vamos analisar as afirmações sobre superfícies quadricas e seus traços. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre hiperboloides e suas interseções com os planos coordenados.

Passo 2

Afirmação I: A equação $ x^{2} - y^{2} + \frac{z^{2}}{2} = 1 $ representa um hiperbolóide de duas folhas.
Para determinar o tipo de superfície, observamos os sinais dos termos quadráticos:
  • $ x^{2} $ tem coeficiente positivo,
  • $ -y^{2} $ tem coeficiente negativo,
  • $ \frac{z^{2}}{2} $ tem coeficiente positivo.
Quando há dois termos com sinal positivo e um com sinal negativo, a superfície é um hiperbolóide de uma folha. Um hiperbolóide de duas folhas teria apenas um termo positivo e dois negativos.
Portanto, a afirmação I está falsa.

Passo 3

Afirmação II: Os traços $ x=0 $, $ y=0 $ e $ z=0 $ da superfície $ \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} - \frac{z^{2}}{25} = 1 $ são, respectivamente, elipse, hipérbole e hipérbole.
Vamos analisar cada traço:
  • Traço $ x=0 $:
    Substituindo $ x=0 $ na equação:
    x=0
    Multiplicando ambos os lados por -1:
    y=0
    Não há solução real para essa equação, portanto, não existe traço em $ x=0 $.
  • Traço $ y=0 $:
    Substituindo $ y=0 $:
    z=0
    Esta é a equação de uma hipérbole.
  • Traço $ z=0 $:
    Substituindo $ z=0 $:
    x^29 - y^216 - z^225 = 1
    Também é a equação de uma hipérbole.
Como o traço em $ x=0 $ não existe, a afirmação II está falsa.

Passo 4

Afirmação III: Todas as seções $ z=k $ da superfície $ \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{15} - \frac{z^{2}}{3} = 0 $ são hipérboles.
Vamos substituir $ z=k $ na equação:
z=k
Rearranjando:
x^24 + y^215 - z^23 = 0
Se $ \frac{k^{2}}{3} > 0 $, a equação representa uma elipse. Portanto, nem todas as seções $ z=k $ são hipérboles; algumas são elipses.
Assim, a afirmação III está falsa.

Resposta

A alternativa correta é a opção c. Todas as afirmações são falsas.

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