Sejam as afirmações :
I) A equação
representa um hiperbolóide de duas folhas.
II) Os traços
e
da superficie
são, respectivamente, elipse, hipérbole e hipérbole.
III) Todas as seções
da superficie
são hipérboles.
Marque a alternativa correta:
Escolha uma opção:
a. Apenas as afirmações I) e II) são verdadeiras
b. Apenas a afirmação I é verdadeira
c. Todas as afirmações são falsas.
d. Todas as afirmações são verdadeiras.
e. Apenas as afirmações II) e III) são verdadeiras.
I) A equação
II) Os traços
III) Todas as seções
Marque a alternativa correta:
Escolha uma opção:
a. Apenas as afirmações I) e II) são verdadeiras
b. Apenas a afirmação I é verdadeira
c. Todas as afirmações são falsas.
d. Todas as afirmações são verdadeiras.
e. Apenas as afirmações II) e III) são verdadeiras.
Passo 1
Vamos analisar as afirmações sobre superfícies quadricas e seus traços. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre hiperboloides e suas interseções com os planos coordenados.
Passo 2
Afirmação I: A equação $ x^{2} - y^{2} + \frac{z^{2}}{2} = 1 $ representa um hiperbolóide de duas folhas.
Para determinar o tipo de superfície, observamos os sinais dos termos quadráticos:
- $ x^{2} $ tem coeficiente positivo,
- $ -y^{2} $ tem coeficiente negativo,
- $ \frac{z^{2}}{2} $ tem coeficiente positivo.
Quando há dois termos com sinal positivo e um com sinal negativo, a superfície é um hiperbolóide de uma folha. Um hiperbolóide de duas folhas teria apenas um termo positivo e dois negativos.
Portanto, a afirmação I está falsa.
Passo 3
Afirmação II: Os traços $ x=0 $, $ y=0 $ e $ z=0 $ da superfície $ \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} - \frac{z^{2}}{25} = 1 $ são, respectivamente, elipse, hipérbole e hipérbole.
Vamos analisar cada traço:
-
Traço $ x=0 $:
Substituindo $ x=0 $ na equação:Multiplicando ambos os lados por -1:Não há solução real para essa equação, portanto, não existe traço em $ x=0 $. -
Traço $ y=0 $:
Substituindo $ y=0 $:Esta é a equação de uma hipérbole. -
Traço $ z=0 $:
Substituindo $ z=0 $:Também é a equação de uma hipérbole.
Como o traço em $ x=0 $ não existe, a afirmação II está falsa.
Passo 4
Afirmação III: Todas as seções $ z=k $ da superfície $ \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{15} - \frac{z^{2}}{3} = 0 $ são hipérboles.
Vamos substituir $ z=k $ na equação:
Rearranjando:
Se $ \frac{k^{2}}{3} > 0 $, a equação representa uma elipse. Portanto, nem todas as seções $ z=k $ são hipérboles; algumas são elipses.
Assim, a afirmação III está falsa.
Resposta
A alternativa correta é a opção c. Todas as afirmações são falsas.