Converta os números da forma retangular para a forma polar:
h)
-8-\mathrm{j} 15

Passo 1

O enunciado pede para converter o número complexo dado na forma retangular para a forma polar.
Informações fornecidas:
\text{o número complexo é }-8-\mathrm{j}15.úé
Ou seja, a parte real é -8 e a parte imaginária é -15.
O que precisamos encontrar: o módulo r e o argumento \theta desse número, e apresentar a forma polar (tanto na forma r\angle\theta quanto, se quiseres, na forma exponencial r\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta}).

Passo 2

Definição do módulo (a “distância” até a origem): para um complexo \,x+\mathrm{j}y, o módulo é
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x é a parte real e y é a parte imaginária. Isso vem do Teorema de Pitágoras aplicado ao ponto (x,y) no plano complexo: a hipotenusa do triângulo retângulo formado tem comprimento \sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Aplicando ao nosso número: x=-8 e y=-15. Calculemos passo a passo:
x^{2}=(-8)^{2}=64,
y^{2}=(-15)^{2}=225,
r=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17.
Portanto o módulo é r=17. (Boa notícia: é um triângulo pitagórico 8\!-\!15\!-\!17, então dá certinho.)

Passo 4

Agora o argumento \theta. Uma fórmula direta é
\theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right),
mas cuidado: \arctan retorna um ângulo entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2} (ou seja, só dá o ângulo de referência), então é preciso levar em conta em qual quadrante o ponto (x,y) está para obter o ângulo correto medido a partir do eixo positivo x.

Passo 5

Método seguro para não errar o quadrante (passo a passo didático):
  1. Calcular o ângulo de referência \alpha=\arctan\!\left(\dfrac{|y|}{|x|}\right). Esse é sempre um número entre 0 e \tfrac{\pi}{2}.
  2. Determinar o quadrante pelo sinal de x e y:
    • Se x>0, y\ge0 → 1º quadrante → \theta=\alpha.
    • Se x<0, y\ge0 → 2º quadrante → \theta=\pi-\alpha.
    • Se x<0, y<0 → 3º quadrante → \theta=\pi+\alpha.
    • Se x>0, y<0 → 4º quadrante → \theta=2\pi-\alpha (ou \theta=-\alpha se preferires ângulo negativo).
      Isso evita confusões com sinais.

Passo 6

Aplicando ao nosso caso: x=-8<0 e y=-15<0, logo estamos no 3º quadrante. Primeiro a referência:
\alpha=\arctan\!\left(\frac{|y|}{|x|}\right)=\arctan\!\left(\frac{15}{8}\right).
Esse valor em graus é aproximadamente \,61{,}93^\circ (ou em radianos \approx 1{,}0809 rad). Como estamos no 3º quadrante:
\theta=\pi+\alpha.

Passo 7

Escrevendo a expressão exata e a aproximação numérica:
\theta=\pi+\arctan\!\left(\frac{15}{8}\right).
Em graus:
\theta\approx 180^\circ+61{,}93^\circ=241{,}93^\circ.
Em radianos (aproximando):
\theta\approx 4{,}2232\\ \text{rad}.
(Se preferires um ângulo equivalente entre -\pi e \pi, podes usar \theta\approx -118{,}07^\circ ou \theta\approx -2{,}0590 rad.)

Passo 8

Finalmente, montamos a forma polar. Na forma ângulo:
r\angle\theta = 17\angle241{,}93^\circ.
Na forma exponencial (útil em muitos cálculos):
r\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta}=17\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}4{,}2232}.

Resposta

17\angle241{,}93^\circ
17\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}4{,}2232}

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