Converta os números da forma retangular para a forma polar:
h)
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Passo 1
O enunciado pede para converter o número complexo dado na forma retangular para a forma polar.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
Ou seja, a parte real é
e a parte imaginária é
.
O que precisamos encontrar: o módulo e o argumento
desse número, e apresentar a forma polar (tanto na forma
quanto, se quiseres, na forma exponencial
).
O que precisamos encontrar: o módulo
Passo 2
Definição do módulo (a “distância” até a origem): para um complexo
, o módulo é
Aqui
é a parte real e
é a parte imaginária. Isso vem do Teorema de Pitágoras aplicado ao ponto
no plano complexo: a hipotenusa do triângulo retângulo formado tem comprimento
.
Passo 3
Aplicando ao nosso número:
e
. Calculemos passo a passo:
Portanto o módulo é
. (Boa notícia: é um triângulo pitagórico
, então dá certinho.)
Passo 4
Agora o argumento
. Uma fórmula direta é
mas cuidado:
retorna um ângulo entre
e
(ou seja, só dá o ângulo de referência), então é preciso levar em conta em qual quadrante o ponto
está para obter o ângulo correto medido a partir do eixo positivo
.
Passo 5
Método seguro para não errar o quadrante (passo a passo didático):
- Calcular o ângulo de referência
. Esse é sempre um número entre e . - Determinar o quadrante pelo sinal de
e : - Se
→ 1º quadrante → . - Se
→ 2º quadrante → . - Se
→ 3º quadrante → . - Se
→ 4º quadrante → (ou se preferires ângulo negativo).
Isso evita confusões com sinais.
- Se
Passo 6
Aplicando ao nosso caso:
e
, logo estamos no 3º quadrante. Primeiro a referência:
Esse valor em graus é aproximadamente
(ou em radianos
rad). Como estamos no 3º quadrante:
Passo 7
Escrevendo a expressão exata e a aproximação numérica:
Em graus:
Em radianos (aproximando):
(Se preferires um ângulo equivalente entre
e
, podes usar
ou
rad.)
Passo 8
Finalmente, montamos a forma polar. Na forma ângulo:
Na forma exponencial (útil em muitos cálculos):