Converta o ponto ( r=3, \theta=\frac{\pi}{6} ) para coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado dá um ponto em coordenadas polares e pede a conversão para coordenadas cartesianas. Informação fornecida:
  • r=3 (a distância do ponto à origem).
  • \theta=\dfrac{\pi}{6} (o ângulo medido a partir do eixo x positivo).
    O que se pede: encontrar as coordenadas cartesianas (x,y) correspondentes a esse ponto polar.

Passo 2

Fórmulas de conversão (essas são as que usamos para passar de polares para cartesianas; vou explicar o que cada símbolo significa):
x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta.
Explicação dos símbolos:
  • r é a distância do ponto à origem (sempre não negativa).
  • \theta é o ângulo formado com o eixo x positivo, medido no sentido anti-horário.
  • x e y são as coordenadas cartesianas que queremos: x é a projeção horizontal e y a projeção vertical.

Passo 3

Precisamos dos valores de \cos\theta e \sin\theta para \theta=\dfrac{\pi}{6}.
Use a referência do triângulo especial 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ (que corresponde a \theta=\dfrac{\pi}{6} porque \dfrac{\pi}{6}=30^\circ):
  • Neste triângulo, os comprimentos relativos dos lados são 1:\sqrt{3}:2, onde 2 é a hipotenusa, 1 é o lado oposto a 30^\circ e \sqrt{3} é o lado adjacente a 30^\circ.
    Portanto:
\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Calcular x aplicando a fórmula x=r\cos\theta:
x = 3\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 3\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}.
Aqui só multiplicamos 3 por \dfrac{\sqrt{3}}{2}; para fazer isso na prova sem calculadora, deixe em forma fracionária com radical.

Passo 5

Calcular y aplicando a fórmula y=r\sin\theta:
y = 3\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 3\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}.
Novamente, o cálculo é direto: 3 vezes 1/2.

Passo 6

Fazer uma checagem rápida (útil na prova): verificar que a distância ao quadrado é x^2+y^2 e deve dar r^2.
x^2+y^2 = \left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)^{2} + \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2} = \dfrac{27}{4} + \dfrac{9}{4} = \dfrac{36}{4} = 9,
então \sqrt{x^2+y^2}=3=r, ok. Outra checagem: \dfrac{y}{x}=\dfrac{3/2}{3\sqrt{3}/2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\tan\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right), também consistente.

Resposta

\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2},\dfrac{3}{2}\right)

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