Calcule o comprimento da curva:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento da curva dada em coordenadas polares por
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A função radial é
. - O parâmetro
varia no intervalo . - O que se pede é o comprimento do arco dessa curva para toda a variação de
dada.
Passo 2
Vamos transformar a curva polar em uma parametrização cartesiana e lembrar a fórmula geral do comprimento de uma curva parametrizada. Em coordenadas polares temos a parametrização
Aqui
é o parâmetro;
é a distância do ponto à origem;
são as coordenadas cartesianas do ponto correspondente. O comprimento de arco para
variando de
a
é dado por
Vou explicar cada termo:
e
são as componentes da velocidade da curva em função de
; o integrando é a norma dessa velocidade — ou seja, a velocidade escalar — e a integral acumula essa velocidade ao longo do intervalo, dando o comprimento total.
Passo 3
Derivamos
e
em relação a
. Usando a regra do produto:
Agora somamos os quadrados e simplificamos:
Note que
e o termo misto anula porque
. Portanto obtemos a fórmula padrão para comprimento em coordenadas polares:
Assim a expressão do comprimento em polares fica
Resumo didático: para curvas
, a velocidade escalar é
. Isso vem diretamente da parametrização cartesiana e da soma dos quadrados das derivadas.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula ao caso concreto
no intervalo
. Primeiro calculamos a derivada:
Substituindo em
:
Fatorando:
Portanto o integrando é a raiz de
, isto é, uma constante:
Passo 5
Com isso o comprimento é simplesmente a integral de uma constante:
Pequeno comentário intuitivo: a expressão ficou muito simples porque a combinação de
e
deu unidade; isso acontece frequentemente para curvas que são círculos em coordenadas polares.
Passo 6
Cheque geométrico (sanity check): em coordenadas cartesianas a relação
pode ser escrita como
que reescrevendo dá
Essa é a equação de um círculo de raio
centrado em
. O intervalo
percorre a parte com
, que é justamente o círculo inteiro (a circunferência completa). O comprimento da circunferência de raio
é
, confirmando o resultado obtido pela integral.