Calcule o comprimento da curva:
r=2 \sin \theta, \quad 0 \leq \theta \leq \pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da curva dada em coordenadas polares por
r = 2\sin\theta,\qquad 0 \le \theta \le \pi.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função radial é \,r(\theta)=2\sin\theta\,.
  • O parâmetro \theta varia no intervalo [0,\pi].
  • O que se pede é o comprimento do arco dessa curva para toda a variação de \theta dada.

Passo 2

Vamos transformar a curva polar em uma parametrização cartesiana e lembrar a fórmula geral do comprimento de uma curva parametrizada. Em coordenadas polares temos a parametrização
x(\theta)=r(\theta)\cos\theta,\qquad y(\theta)=r(\theta)\sin\theta.
Aqui \theta é o parâmetro; r(\theta) é a distância do ponto à origem; x(\theta),y(\theta) são as coordenadas cartesianas do ponto correspondente. O comprimento de arco para \theta variando de a a b é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigg(\frac{dx}{d\theta}\bigg)^{2}+\bigg(\frac{dy}{d\theta}\bigg)^{2}}\;d\theta.
Vou explicar cada termo: \dfrac{dx}{d\theta} e \dfrac{dy}{d\theta} são as componentes da velocidade da curva em função de \theta; o integrando é a norma dessa velocidade — ou seja, a velocidade escalar — e a integral acumula essa velocidade ao longo do intervalo, dando o comprimento total.

Passo 3

Derivamos x(\theta) e y(\theta) em relação a \theta. Usando a regra do produto:
\frac{dx}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\cos\theta - r(\theta)\sin\theta,
\frac{dy}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\sin\theta + r(\theta)\cos\theta.
Agora somamos os quadrados e simplificamos:
\bigg(\frac{dx}{d\theta}\bigg)^{2}+\bigg(\frac{dy}{d\theta}\bigg)^{2} = \bigg(\frac{dr}{d\theta}\bigg)^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta) + r(\theta)^{2}(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + 2\frac{dr}{d\theta}r(\theta)(\cos\theta\sin\theta-\sin\theta\cos\theta).
Note que \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 e o termo misto anula porque \cos\theta\sin\theta-\sin\theta\cos\theta=0. Portanto obtemos a fórmula padrão para comprimento em coordenadas polares:
\bigg(\frac{dx}{d\theta}\bigg)^{2}+\bigg(\frac{dy}{d\theta}\bigg)^{2}= \bigg(\frac{dr}{d\theta}\bigg)^{2}+ r(\theta)^{2}.
Assim a expressão do comprimento em polares fica
L=\int_{a}^{b}\sqrt{r(\theta)^{2}+\bigg(\frac{dr}{d\theta}\bigg)^{2}}\;d\theta.
Resumo didático: para curvas r(\theta), a velocidade escalar é \sqrt{r^{2}+(\,dr/d\theta\,)^{2}}. Isso vem diretamente da parametrização cartesiana e da soma dos quadrados das derivadas.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula ao caso concreto r(\theta)=2\sin\theta no intervalo [0,\pi]. Primeiro calculamos a derivada:
\frac{dr}{d\theta}=2\cos\theta.
Substituindo em r^{2}+(\,dr/d\theta\,)^{2}:
r(\theta)^{2}+\bigg(\frac{dr}{d\theta}\bigg)^{2}=(2\sin\theta)^{2}+(2\cos\theta)^{2}=4\sin^{2}\theta+4\cos^{2}\theta.
Fatorando:
4\sin^{2}\theta+4\cos^{2}\theta=4(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)=4\cdot 1=4.
Portanto o integrando é a raiz de 4, isto é, uma constante:
\sqrt{r^{2}+\bigg(\frac{dr}{d\theta}\bigg)^{2}}=\sqrt{4}=2.

Passo 5

Com isso o comprimento é simplesmente a integral de uma constante:
L=\int_{0}^{\pi} 2\;d\theta = 2\big[\theta\big]_{0}^{\pi}=2\pi.
Pequeno comentário intuitivo: a expressão ficou muito simples porque a combinação de \sin e \cos deu unidade; isso acontece frequentemente para curvas que são círculos em coordenadas polares.

Passo 6

Cheque geométrico (sanity check): em coordenadas cartesianas a relação \,r=2\sin\theta\, pode ser escrita como
r^{2}=2r\sin\theta\quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}=2y,
que reescrevendo dá
x^{2}+(y-1)^{2}=1.
Essa é a equação de um círculo de raio 1 centrado em (0,1). O intervalo \theta\in[0,\pi] percorre a parte com r\ge 0, que é justamente o círculo inteiro (a circunferência completa). O comprimento da circunferência de raio 1 é 2\pi\cdot 1=2\pi, confirmando o resultado obtido pela integral.

Resposta

\;2\pi

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