Calcule a área da região:
r=2, \quad 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado dá a curva polar \,r=2\, e o intervalo angular \,0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\,.
O que se pede: calcular a área da região limitada por essa curva e pelos limites angulares dados.
Informações relevantes:
  • A equação polar é \,r=2\, (raio constante igual a 2).
  • O ângulo varia de \,0 até \,\frac{\pi}{2} (um quadrante, 90^\circ).
  • A região é o setor do disco de raio 2 que fica entre as retas angulares \theta=0 e \theta=\frac{\pi}{2} — ou seja, todos os pontos com \,0\le r\le 2 e \,0\le\theta\le\frac{\pi}{2}.

Passo 2

Intuição geométrica do que vamos calcular.
Um setor circular de raio r e ângulo \Delta\theta tem área proporcional ao ângulo: quanto maior o ângulo, maior a fração do círculo. Para um ângulo \Delta\theta em radianos, a área do setor é
\frac{1}{2}r^{2}\Delta\theta.
Aqui temos um setor com raio 2 e ângulo total \displaystyle \frac{\pi}{2}. Vamos usar a fórmula de área em coordenadas polares (que generaliza essa ideia quando r depende de \theta).

Passo 3

Derivação didática da fórmula de área em coordenadas polares.
Considere um pequeno pedaço angular entre \theta e \theta+d\theta. Se a fronteira externa estiver a uma distância r(\theta) do origem, esse pedaço é aproximadamente um setor de raio r(\theta) e ângulo d\theta, cuja área é
dA \approx \frac{1}{2}\bigl(r(\theta)\bigr)^{2}d\theta.
Para obter a área total entre \theta=a e \theta=b integras essas fatias:
A=\frac{1}{2}\int_{a}^{b} \bigl(r(\theta)\bigr)^{2}\,d\theta.
Aqui cada símbolo significa:
  • A é a área procurada;
  • r(\theta) é a função raio em função do ângulo \theta;
  • d\theta é um pequeno incremento angular;
  • a integral soma as áreas das fatias angulares de \theta=a até \theta=b.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso dado. Temos \,r(\theta)=2\, (constante) e os limites \,a=0\,, \,b=\frac{\pi}{2}. Então
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} \bigl(2\bigr)^{2}\,d\theta.
Calcule passo a passo:
\bigl(2\bigr)^{2}=4,
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} 4\,d\theta = \frac{1}{2}\cdot 4 \int_{0}^{\pi/2} 1\,d\theta = 2\int_{0}^{\pi/2} d\theta.
Agora integrar:
2\int_{0}^{\pi/2} d\theta = 2\bigl[\theta\bigr]_{0}^{\pi/2} = 2\left(\frac{\pi}{2}-0\right).

Passo 5

Simplificando o resultado:
2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi.
Como verificação rápida por raciocínio geométrico: o disco de raio 2 tem área \pi(2)^{2}=4\pi; a região dada é exatamente um quarto desse disco (ângulo \pi/2 de um total 2\pi), logo a área é \tfrac{1}{4}\cdot 4\pi=\pi, mesma resposta.

Resposta

\pi

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