Calcule a área da região:
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
e o intervalo angular
.
O que se pede: calcular a área da região limitada por essa curva e pelos limites angulares dados.
O que se pede: calcular a área da região limitada por essa curva e pelos limites angulares dados.
Informações relevantes:
- A equação polar é
(raio constante igual a ). - O ângulo varia de
até (um quadrante, ). - A região é o setor do disco de raio
que fica entre as retas angulares e — ou seja, todos os pontos com e .
Passo 2
Intuição geométrica do que vamos calcular.
Um setor circular de raio e ângulo
tem área proporcional ao ângulo: quanto maior o ângulo, maior a fração do círculo. Para um ângulo
em radianos, a área do setor é
Um setor circular de raio
Aqui temos um setor com raio
e ângulo total
. Vamos usar a fórmula de área em coordenadas polares (que generaliza essa ideia quando
depende de
).
Passo 3
Derivação didática da fórmula de área em coordenadas polares.
Considere um pequeno pedaço angular entre e
. Se a fronteira externa estiver a uma distância
do origem, esse pedaço é aproximadamente um setor de raio
e ângulo
, cuja área é
Considere um pequeno pedaço angular entre
Para obter a área total entre
e
integras essas fatias:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a área procurada; -
é a função raio em função do ângulo ; -
é um pequeno incremento angular; - a integral soma as áreas das fatias angulares de
até .
Passo 4
Aplicando a fórmula ao caso dado. Temos
(constante) e os limites
,
. Então
Calcule passo a passo:
Agora integrar:
Passo 5
Simplificando o resultado:
Como verificação rápida por raciocínio geométrico: o disco de raio
tem área
; a região dada é exatamente um quarto desse disco (ângulo
de um total
), logo a área é
, mesma resposta.