Converta os seguintes números binários em decimal.
c) 100100001001

Passo 1

O enunciado pede para converter o número binário dado em sua representação decimal. O número binário fornecido é ...100100001001.... A tarefa é encontrar o valor decimal correspondente.

Passo 2

Explicando a ideia básica (passo-a-passo e sem pular etapas). Em base binária (base 2) cada dígito (bit) representa uma potência de 2. O bit mais à direita corresponde a 2^{0}, o próximo à esquerda a 2^{1}, e assim por diante. Para converter, multiplicamos cada bit pelo valor da potência de 2 correspondente à sua posição e somamos os resultados. Em fórmula geral, se o número binário tem bits b_{n}b_{n-1}\dots b_{1}b_{0}, então o valor decimal é
\sum_{k=0}^{n} b_{k} \cdot 2^{k}.
Aqui b_{k} é 0 ou 1, e k é a posição contando a partir da direita com k=0.

Passo 3

Identificar as posições dos bits do número ...100100001001.... Primeiro conto quantos bits há e associo índices (posição) a cada bit, começando em 0 na direita. O número tem doze bits; escrevendo cada bit com sua posição (posição indicada abaixo de cada bit):
\begin{array}{cccccccccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 11 & 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{array}
Logo, os bits iguais a 1 estão nas posições 11, 8, 3 e 0.

Passo 4

Escrever a soma apenas com os termos não nulos (onde o bit é 1):
2^{11} + 2^{8} + 2^{3} + 2^{0}.
Agora vamos calcular cada potência de 2 (mostrando como obter sem calculadora).

Passo 5

Calcular as potências de 2 necessárias:
2^{0}=1,
2^{3}=2\cdot2\cdot2=8,
2^{8}=2^{3}\cdot2^{5}=8\cdot32=256\quad\text{(ou lembrar que }2^{8}=256\text{)},
2^{11}=2^{8}\cdot2^{3}=256\cdot8=2048\quad\text{(ou lembrar que }2^{10}=1024\text{ e duplicar para }2^{11}=2048\text{)}.

Passo 6

Somar os termos obtidos passo a passo:
2048 + 256 = 2304,
2304 + 8 = 2312,
2312 + 1 = 2313.

Passo 7

Confirmação rápida por outro raciocínio (opcional, para fixar): agrupar em blocos de 4 bits facilita ver em hexadecimal. O número ...100100001001... pode ser separado como ...1001\\\ 0000\\\ 1001.... Cada ...1001... é 9 em hexadecimal e ...0000... é 0, então o valor em hex é ...0x909.... Convertendo 0x909 para decimal dá 9\cdot16^{2}+0\cdot16^{1}+9\cdot16^{0}=9\cdot256+9=2304+9=2313, confirmando o resultado anterior.

Resposta

\displaystyle 2313

Exercícios relacionados