Converta os seguintes pontos, dados em coordenadas cartesianas ( x, y ), para suas coordenadas polares (r, \theta), com r>0 e \theta \in[0,2 \pi]. Lembre-se das fórmulas: (-2,2)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
Ponto em coordenadas cartesianas fornecido: (-2,2).
Converter para coordenadas polares (r,\theta) com as condições: r>0 e \theta\in[0,2\pi].
Portanto a tarefa é encontrar o valor de r (distância do ponto à origem) e o valor de \theta (ângulo, medido a partir do eixo x positivo, que coloca o ponto na sua posição).
Passo 2
Fórmulas e ideias que vamos usar (explicadas devagar).
A relação básica entre coordenadas cartesianas (x,y) e polares (r,\theta) é dada por:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui x e y são as coordenadas cartesianas do ponto, r é a distância do ponto à origem (sempre não-negativa) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo no sentido anti-horário.
A fórmula prática para r é a distância euclidiana:
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Isso vem do teorema de Pitágoras: o ponto (x,y) forma um triângulo retângulo com a origem.
mas atenção: a função arctan convencional dá um ângulo em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), então precisamos ajustar o quadrante do ângulo usando os sinais de x e y. Uma forma prática é usar \theta = \operatorname{atan2}(y,x), que já dá o ângulo no quadrante correto. Se não houver essa função, determina-se primeiro o ângulo de referência \alpha=\arctan\big(\big|\tfrac{y}{x}\big|\big) e então ajusta-se conforme o quadrante:
Quadrante I (x>0,y>0): \theta=\alpha.
Quadrante II (x<0,y>0): \theta=\pi-\alpha.
Quadrante III (x<0,y<0): \theta=\pi+\alpha.
Quadrante IV (x>0,y<0): \theta=2\pi-\alpha.
Passo 3
Calcular r para o ponto dado (x,y)=(-2,2).
Aplicando a fórmula:
r=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}.
Simplificando \sqrt{8}:
\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}.
Logo r=2\sqrt{2}, que é positivo como exigido.
Passo 4
Determinar o ângulo de referência \alpha.
Calcule a razão \dfrac{y}{x}:
\frac{y}{x}=\frac{2}{-2}=-1.
O valor absoluto é \big|\tfrac{y}{x}\big|=1. Portanto o ângulo de referência (o ângulo cujo tangente vale 1) é
\alpha=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}.
Esse é o ângulo “pequeno” formado com o eixo x.
Passo 5
Determinar em que quadrante o ponto está e ajustar \theta.
Para (x,y)=(-2,2) temos x<0 e y>0. Isso significa que o ponto está no quadrante II. Conforme a regra para o quadrante II:
\theta=\pi-\alpha.
Substituindo \alpha=\dfrac{\pi}{4}:
\theta=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}.
Passo 6
Verificação rápida usando \cos\theta e \sin\theta.
Com r=2\sqrt{2} e \theta=\dfrac{3\pi}{4}:
Esses resultados coincidem com as coordenadas originais x=-2 e y=2, portanto a conversão está correta. Além disso \theta=\dfrac{3\pi}{4} pertence ao intervalo [0,2\pi], como pedido.