Esboce a curva descrita por cada uma das seguintes equações em coordenadas polares.
r^{2}-3 r+2=0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva dada em coordenadas polares pela equação
r^{2}-3r+2=0.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A incógnita é r (a distância do ponto ao polo/origem) e a equação não envolve o ângulo \theta.
  • Trata‑se de uma equação quadrática em r.
  • O pedido é desenhar (esboçar) a(s) curva(s) descrita(s) por essa equação.

Passo 2

Resolvendo a equação quadrática em r. Vou tratar como uma quadrática padrão ar^{2}+br+c=0. Aqui a=1, b=-3 e c=2. Duas formas comuns de resolver: fatoração ou fórmula quadrática. Primeiro tento a fatoração:
r^{2}-3r+2=(r-1)(r-2).
Logo as raízes são
r=1\quad\text{ou}\quad r=2.
Se preferir verificar com a fórmula, a discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4\cdot1\cdot2=9-8=1,
e as raízes pela fórmula dão \dfrac{3\pm\sqrt{1}}{2}, igualmente 1 e 2.

Passo 3

Interpretação geométrica em coordenadas polares. Cada raiz dá uma equação do tipo r= constante válida para todo \theta:
  • r=1 para todo \theta,
  • r=2 para todo \theta.
Em coordenadas cartesianas a relação entre r e x,y é r^{2}=x^{2}+y^{2}. Portanto as equações correspondentes são
x^{2}+y^{2}=1
e
x^{2}+y^{2}=4.
Essas são circunferências centradas na origem com raios 1 e 2, respectivamente.

Passo 4

O que isso significa no esboço: a solução da equação original não é uma única curva contínua, e sim a união das duas curvas acima. Em polar isso aparece porque, para qualquer ângulo \theta, um ponto com r=1 está na primeira circunferência e um ponto com r=2 está na segunda. Assim o conjunto solução é
\{(r,\theta)\mid r=1\}\\ \cup\\ \{(r,\theta)\mid r=2\}.

Passo 5

Observações didáticas e dicas para esboçar na prova:
  • Para esboçar, desenhe os eixos x e y, marque a origem e trace duas circunferências concêntricas centradas na origem de raios 1 e 2.
  • Como as raízes são positivas não há necessidade de considerar representação com r<0. (Lembre: se uma raiz fosse negativa, o ponto com coordenada polar (r,\theta) com r<0 corresponde ao mesmo ponto que (|r|,\theta+\pi).)
  • Técnica geral: sempre que vir uma equação em polares só em função de r (sem \theta), resolva a equação para r. Se aparecer \theta nos coeficientes, use a fórmula quadrática dependendo de \theta e interprete as raízes como curvas em \theta.

Resposta

r=1 e r=2 — duas circunferências concêntricas centradas na origem, de raios 1 e 2 (equivalentes cartesianas: x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4).

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