Esboce a curva descrita por cada uma das seguintes equações em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva dada em coordenadas polares pela equação
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A incógnita é
(a distância do ponto ao polo/origem) e a equação não envolve o ângulo . - Trata‑se de uma equação quadrática em
. - O pedido é desenhar (esboçar) a(s) curva(s) descrita(s) por essa equação.
Passo 2
Resolvendo a equação quadrática em
. Vou tratar como uma quadrática padrão
. Aqui
,
e
. Duas formas comuns de resolver: fatoração ou fórmula quadrática. Primeiro tento a fatoração:
Logo as raízes são
Se preferir verificar com a fórmula, a discriminante é
e as raízes pela fórmula dão
, igualmente
e
.
Passo 3
Interpretação geométrica em coordenadas polares. Cada raiz dá uma equação do tipo
constante válida para todo
:
-
para todo , -
para todo .
Em coordenadas cartesianas a relação entre
e
é
. Portanto as equações correspondentes são
e
Essas são circunferências centradas na origem com raios
e
, respectivamente.
Passo 4
O que isso significa no esboço: a solução da equação original não é uma única curva contínua, e sim a união das duas curvas acima. Em polar isso aparece porque, para qualquer ângulo
, um ponto com
está na primeira circunferência e um ponto com
está na segunda. Assim o conjunto solução é
Passo 5
Observações didáticas e dicas para esboçar na prova:
- Para esboçar, desenhe os eixos
e , marque a origem e trace duas circunferências concêntricas centradas na origem de raios e . - Como as raízes são positivas não há necessidade de considerar representação com
. (Lembre: se uma raiz fosse negativa, o ponto com coordenada polar com corresponde ao mesmo ponto que .) - Técnica geral: sempre que vir uma equação em polares só em função de
(sem ), resolva a equação para . Se aparecer nos coeficientes, use a fórmula quadrática dependendo de e interprete as raízes como curvas em .