Converta os seguintes pontos, dados em coordenadas cartesianas ( x, y ), para suas coordenadas polares (r, \theta), com r>0 e \theta \in[0,2 \pi]. Lembre-se das fórmulas:
(-1,-1)

Passo 1

O enunciado pede: converter o ponto dado em coordenadas cartesianas (-1,-1) para coordenadas polares (r,\theta) com as restrições r>0 e \theta\in[0,2\pi].
Informações fornecidas:
  • Coordenadas cartesianas do ponto: x=-1 e y=-1.

Passo 2

O que são coordenadas polares e as fórmulas básicas (mini-aula):
  • Em coordenadas polares um ponto no plano é representado por (r,\theta), onde:
    • r é a distância do ponto até a origem (sempre não negativa).
    • \theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo x até o raio que liga a origem ao ponto, medido no sentido anti-horário.
  • As relações entre coordenadas cartesianas (x,y) e polares (r,\theta) são:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta
  • Para obter \theta a partir de x e y normalmente usamos \theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right), mas esse valor precisa ser ajustado conforme o quadrante em que o ponto está (porque a função \arctan sozinha dá um ângulo principal com ambiguidade de \pi). Uma forma prática é usar a função \operatorname{atan2}(y,x) (que já cuida do quadrante) ou aplicar regras:
    • Se x>0, então \theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right).
    • Se x<0 e y\ge0, então \theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)+\pi.
    • Se x<0 e y<0, então \theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)+\pi.
    • Se x=0 e y>0, então \theta=\dfrac{\pi}{2}.
    • Se x=0 e y<0, então \theta=\dfrac{3\pi}{2}.
  • Outra estratégia (às vezes mais intuitiva em prova): calcular o ângulo de referência \alpha=\arctan\!\left(\left|\dfrac{y}{x}\right|\right) (sempre positivo) e então deslocar esse ângulo para o quadrante correto:
    • Quadrante I: \theta=\alpha.
    • Quadrante II: \theta=\pi-\alpha.
    • Quadrante III: \theta=\pi+\alpha.
    • Quadrante IV: \theta=2\pi-\alpha.

Passo 3

Determinar o quadrante do ponto (x,y)=(-1,-1):
  • x=-1<0 e y=-1<0. Logo o ponto está no terceiro quadrante (área onde ambos x e y são negativos).
  • Para o terceiro quadrante, conforme a regra acima, teremos \theta=\pi+\alpha, onde \alpha é o ângulo de referência positivo.

Passo 4

Calcular r passo a passo:
  • Usando a fórmula \,r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,, com x=-1 e y=-1:
r=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
  • Observação didática: r é sempre positivo aqui, então tomamos a raiz positiva \sqrt{2}.

Passo 5

Calcular o ângulo de referência \alpha:
  • Primeiro calcule \left|\dfrac{y}{x}\right|:
\left|\dfrac{y}{x}\right|=\left|\dfrac{-1}{-1}\right|=1.
  • Então \alpha=\arctan(1). Sabemos que \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4} (ou 45^\circ).
  • Portanto o ângulo de referência é \alpha=\dfrac{\pi}{4}.

Passo 6

Ajustar \alpha para o terceiro quadrante:
  • Como o ponto está no terceiro quadrante, aplicamos \theta=\pi+\alpha.
\theta=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}.
  • Alternativa (rápida): usar \operatorname{atan2}(-1,-1) -\tfrac{3\pi}{4}; somando 2\pi para ficar no intervalo [0,2\pi] obtém-se \theta=\frac{5\pi}{4}. Ambas as formas chegam ao mesmo resultado.

Passo 7

Checagem rápida (consistência com sinais):
  • Verificar se \cos\theta e \sin\theta têm os sinais corretos para o terceiro quadrante:
\cos\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • Calculando r\cos\theta e r\sin\theta:
r\cos\theta=\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-1, \qquad r\sin\theta=\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-1,
que coincide com x=-1 e y=-1. Está consistente.

Resposta

\left(\sqrt{2},\frac{5\pi}{4}\right)

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