Converta para o sistema binário.
\quad 16989_{10}

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Dado: o número decimal \,16989_{10}.
  • Pedido: converter esse número para o sistema binário (base 2), ou seja, encontrar \,(\text{o número})_2ú.

Passo 2

Ideia e regra do método (explicação didática).
  • Em base 2 cada dígito (bit) vale 2^k para alguma potência inteira k. Um inteiro N pode ser escrito como
N=\sum_{k=0}^{m} b_k 2^k,
onde cada b_k\in\{0,1\}.
  • Método prático usado na prova: divisões sucessivas por 2. Em cada divisão inteira
N = 2\cdot q + r,
o resto r vale 0 ou 1 e corresponde ao bit menos significativo (LSB) atualmente obtido. Repetir com q até o quociente ser 0. Os bits do número binário aparecem dos restos lidos de baixo para cima (do último resto obtido para o primeiro).

Passo 3

Mostrando o primeiro passo da divisão e explicando o que o resto representa.
  • Fazer divisão inteira de \,16989 por 2.
    \,16989 = 2\cdot8494 + 1.
  • O resto 1 é o bit menos significativo ( b_0=1). O próximo número a dividir é o quociente \,8494.

Passo 4

Continuar as divisões (próximas 5 divisões), anotando quociente e resto.
  • \,8494 = 2\cdot4247 + 0 (resto 0)
  • \,4247 = 2\cdot2123 + 1 (resto 1)
  • \,2123 = 2\cdot1061 + 1 (resto 1)
  • \,1061 = 2\cdot530 + 1 (resto 1)
  • \,530 = 2\cdot265 + 0 (resto 0)
Explicação rápida: cada resto aqui é um bit subsequente (da direita para a esquerda): vimos até agora b_0=1,\;b_1=0,\;b_2=1,\;b_3=1,\;b_4=1,\;b_5=0.

Passo 5

Continuar as divisões (próximas 5 divisões), mantendo a anotação.
  • \,265 = 2\cdot132 + 1 (resto 1)
  • \,132 = 2\cdot66 + 0 (resto 0)
  • \,66 = 2\cdot33 + 0 (resto 0)
  • \,33 = 2\cdot16 + 1 (resto 1)
  • \,16 = 2\cdot8 + 0 (resto 0)
Agora os restos adicionais (continuando da direita para a esquerda) são b_6=1,\;b_7=0,\;b_8=0,\;b_9=1,\;b_{10}=0.

Passo 6

Últimas divisões até o quociente ser zero.
  • \,8 = 2\cdot4 + 0 (resto 0)
  • \,4 = 2\cdot2 + 0 (resto 0)
  • \,2 = 2\cdot1 + 0 (resto 0)
  • \,1 = 2\cdot0 + 1 (resto 1)
Estes restos correspondem aos bits mais significativos: b_{11}=0,\;b_{12}=0,\;b_{13}=0,\;b_{14}=1.

Passo 7

Listagem completa dos restos e como formar o número binário.
  • Relembrando: os restos obtidos em cada divisão, do primeiro passo ao último, foram (na ordem em que apareceram):
    1,\,0,\,1,\,1,\,1,\,0,\,1,\,0,\,0,\,1,\,0,\,0,\,0,\,0,\,1.
  • Para formar o binário lê-se essa sequência de trás para frente (do último resto obtido — que é o bit mais significativo — até o primeiro resto — bit menos significativo). Assim os bits do mais significativo ao menos são: 1,\;0,\;0,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0,\;1,\;0,\;1,\;1,\;1,\;0,\;1.

Passo 8

Escrevendo o número binário final e explicando a verificação (como checar na prova).
  • Juntando os bits do passo anterior obtemos o número binário 100001001011101_2.
  • Verificação rápida (ideia): cada ‘1’ representa uma potência de 2. Somando 2^{14}+2^{9}+2^{6}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2^{0} obtém-se de volta \,16989. Isso confirma que a conversão está correta.

Resposta

100001001011101_2

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