Converta para o sistema binário.
5678_{10}

Passo 1

O enunciado pede para converter o número \,5678_{10} (base decimal) para o sistema binário (base 2).
Informação dada: o número decimal \,5678.
Pergunta: qual é a representação binária de \,5678_{10}?

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática): divisão sucessiva por 2.
Por que isso funciona? Um número inteiro em binário é uma soma de potências de 2:
N = \sum_{k=0}^{m} b_k\,2^k,
onde cada b_k é 0 ou 1. Ao dividir N por 2 obtemos o quociente e o resto 0 ou 1; esse resto é justamente o bit menos significativo ( b_0). Repetindo a divisão no quociente obtemos, em cada passo, o próximo bit (da direita para a esquerda). No final, quando o quociente chega a 0, lemos os restos de baixo para cima para formar o número binário.

Passo 3

Vamos fazer as divisões sucessivas por 2 e anotar os restos (cada resto será um bit):
\,5678 \div 2 = 2839 com resto \,0.
\,2839 \div 2 = 1419 com resto \,1.
\,1419 \div 2 = 709 com resto \,1.
\,709 \div 2 = 354 com resto \,1.
\,354 \div 2 = 177 com resto \,0.
\,177 \div 2 = 88 com resto \,1.
\,88 \div 2 = 44 com resto \,0.
\,44 \div 2 = 22 com resto \,0.
\,22 \div 2 = 11 com resto \,0.
\,11 \div 2 = 5 com resto \,1.
\,5 \div 2 = 2 com resto \,1.
\,2 \div 2 = 1 com resto \,0.
\,1 \div 2 = 0 com resto \,1.
Os restos, lidos do último para o primeiro, dão os bits do mais significativo ao menos significativo.

Passo 4

Lendo os restos de cima para baixo (do último resto obtido para o primeiro), obtemos a sequência de bits:
1,\;0,\;1,\;1,\;0,\;0,\;0,\;1,\;0,\;1,\;1,\;1,\;0.
Portanto a representação binária é
5678_{10}=1011000101110_{2}.

Passo 5

Verificação (somando as potências de 2 correspondentes aos bits 1): os bits iguais a 1 correspondem às potências
2^{12},\;2^{10},\;2^{9},\;2^{5},\;2^{3},\;2^{2},\;2^{1}.
Somando:
2^{12}+2^{10}+2^{9}+2^{5}+2^{3}+2^{2}+2^{1} =4096+1024+512+32+8+4+2=5678,
confirmação correta.

Resposta

\,1011000101110_{2}

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