Converta para o sistema decimal.
101000111111001_{2}

Passo 1

O enunciado pede para converter o número binário 101000111111001_{2} para o sistema decimal. Informação dada:
  • O número binário é 101000111111001_{2}.
  • Pergunta: qual é o valor desse número quando escrito em base decimal?

Passo 2

Regra geral (posicional) usada para converter: um número binário com dígitos b_n b_{n-1}\dots b_1 b_0 vale
\sum_{k=0}^{n} b_k\cdot 2^{k},
onde:
  • b_k\in\{0,1\} é o dígito (bit) na posição k (posição 0 é o bit menos significativo, à direita);
  • 2^{k} é a potência de 2 correspondente à posição k.
    Em palavras: cada bit 1 contribui com a potência de 2 correspondente à sua posição; bits 0 não contribuem.

Passo 3

Associar posições aos dígitos do número 101000111111001_{2}. Numerando do bit menos significativo (direita) como k=0 até o mais significativo (esquerda):
\begin{aligned} &\text{bits: } &1&\;0\;1\;0\;0\;0\;1\;1\;1\;1\;1\;1\;0\;0\;1\\\ &\text{índices }k:&14&\;13\;12\;11\;10\;9\;8\;7\;6\;5\;4\;3\;2\;1\;0 \end{aligned}í
Logo, pelo somatório posicional:
101000111111001_{2} = \sum_{k=0}^{14} b_k 2^{k} = 1\cdot 2^{14}+0\cdot 2^{13}+1\cdot 2^{12}+0\cdot 2^{11}+0\cdot 2^{10}+0\cdot 2^{9}
\qquad\qquad\qquad +1\cdot 2^{8}+1\cdot 2^{7}+1\cdot 2^{6}+1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}.

Passo 4

Calcular apenas os termos com b_k=1. As potências relevantes são:
2^{14}=16384,\quad 2^{12}=4096,\quad 2^{8}=256,\quad 2^{7}=128,
2^{6}=64,\quad 2^{5}=32,\quad 2^{4}=16,\quad 2^{3}=8,\quad 2^{0}=1.
Portanto os termos não nulos são:
16384,\;4096,\;256,\;128,\;64,\;32,\;16,\;8,\;1.

Passo 5

Somar os termos passo a passo (para facilitar a conta sem calculadora):
16384+4096=20480,
20480+256=20736,
20736+128=20864,
20864+64=20928,
20928+32=20960,
20960+16=20976,
20976+8=20984,
20984+1=20985.
Portanto o valor em decimal é 20985. Ótimo! Se estiver nervoso na prova, use o mesmo procedimento: listar posições, somar as potências de 2 correspondentes aos bits 1 e somar com cuidado.

Resposta

20985

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