Converta para o sistema hexadecimal os seguintes números.
8192_{10}

Passo 1

O enunciado pede para converter o número 8192_{10} (ou seja, 8192 na base decimal) para o sistema hexadecimal (base 16). As informações relevantes são:
  • Número dado: 8192_{10}.
  • Objetivo: escrever esse mesmo valor na base 16, isto é, encontrar N tal que N_{16} represente o mesmo inteiro.

Passo 2

O que é o sistema hexadecimal, de forma bem direta (para você ter certeza do que estamos fazendo).
  • Hexadecimal é a base 16. Cada posição vale potências de 16: 16^0,16^1,16^2,\dots.
  • Os dígitos possíveis vão de 0 a 15. Para representar valores de 10 a 15 usa-se A, B, C, D, E, F respectivamente.
  • Um número hexadecimal com dígitos d_n d_{n-1}\dots d_1 d_0 representa
d_n\cdot16^n + d_{n-1}\cdot16^{n-1} + \cdots + d_1\cdot16 + d_0.
Aqui cada d_i é um inteiro entre 0 e 15.

Passo 3

Método prático 1 — usar potências de 16 (mais rápido quando o número é uma potência de 2 grande).
  • Calcular algumas potências de 16:
16^0=1,\qquad 16^1=16,\qquad 16^2=256,\qquad 16^3=4096,\qquad 16^4=65536.
  • Observar que 16^3=4096\le8192<65536=16^4. Portanto o maior expoente de 16 que cabe em 8192 é 3. Isso significa que a representação hexadecimal terá, no máximo, 4 dígitos (índices 3,2,1,0).

Passo 4

Encontrar o dígito na posição 16^3.
  • Dividir 8192 por 16^3=4096:
\left\lfloor\frac{8192}{4096}\right\rfloor = \left\lfloor 2 \right\rfloor = 2.
  • Logo o dígito correspondente a 16^3 é 2. Multiplicando para ver quanto isso soma:
2\cdot16^3 = 2\cdot4096 = 8192.
  • Subtraindo desse total obtemos o resto:
8192 - 8192 = 0.
Como o resto é 0, todos os dígitos de ordem inferior ( 16^2,16^1,16^0) serão 0.

Passo 5

Escrever a representação hexadecimal a partir dos dígitos encontrados.
  • Temos: dígito em 16^3 = 2, dígitos em 16^2,16^1,16^0 = 0.
  • Portanto a escrita hexadecimal é 2000_{16}.

Passo 6

Método prático 2 — divisão sucessiva por 16 (confirmação, passo a passo com restos).
  • Dividir 8192 por 16 e anotar quocientes e restos:
8192 \div 16 = 512\\ \text{quociente},\\ \text{resto }0.
512 \div 16 = 32\\ \text{quociente},\\ \text{resto }0.
32 \div 16 = 2\\ \text{quociente},\\ \text{resto }0.
2 \div 16 = 0\\ \text{quociente},\\ \text{resto }2.
  • Os restos, lidos de baixo para cima (do último resto até o primeiro), dão os dígitos hexadecimais: 2,0,0,0. Ou seja 2000_{16}. Confere com o método anterior.

Passo 7

Verificação final por conversão inversa (para você ficar confiante).
  • Converter 2000_{16} para decimal:
2\cdot16^3 + 0\cdot16^2 + 0\cdot16 + 0 = 2\cdot4096 = 8192.
  • Isso confirma que 2000_{16} representa exatamente 8192_{10}.

Resposta

2000_{16}

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