Converta para o sistema hexadecimal os seguintes números.
\quad 987,87_{10}

Passo 1

O enunciado pede converter o número decimal \,987,87_{10}\, para o sistema hexadecimal.
Informações fornecidas:
  • Parte inteira: \,987.
  • Parte fracionária: \,0,87.

Passo 2

Métodos que vamos usar (explicação didática):
  • Para a parte inteira: dividir sucessivamente por 16 e anotar os restos. Se N é a parte inteira, escrever
N = 16\cdot q + r
onde r é o resto ( 0\le r\le 15). Os restos, lidos do último para o primeiro, são os dígitos em base 16. Lembrar que 10\mapsto\mathrm{A},\,11\mapsto\mathrm{B},\,12\mapsto\mathrm{C},\,13\mapsto\mathrm{D},\,14\mapsto\mathrm{E},\,15\mapsto\mathrm{F}.
  • Para a parte fracionária: multiplicar sucessivamente por 16. Se f é a parte fracionária inicial ( 0\le f<1), em cada passo calculamos 16f. A parte inteira de 16f é o próximo dígito hexadecimal; a nova parte fracionária é a parte decimal de 16f. Repetir até obter resto 0 (caso raro) ou detectar um ciclo (repetição), o que gera uma dízima periódica em base 16.

Passo 3

Conversão da parte inteira \,987 para base 16, mostrando as divisões e restos:
987 = 16\cdot61 + 11
61 = 16\cdot3 + 13
3 = 16\cdot0 + 3
Os restos, do último ao primeiro, são 3,\;13,\;11. Convertendo para dígitos hex:
13 \mapsto \mathrm{D},\qquad 11 \mapsto \mathrm{B}.
Portanto a parte inteira em hexadecimal é \,3\mathrm{D}\mathrm{B}_{16}.

Passo 4

Aplicando o método da multiplicação para a parte fracionária \,0,87. Em cada passo faço \,16\times(\text{parte fracionária})á e separo a parte inteira (dígito hex) e a nova parte fracionária. Vou mostrar passo a passo e indicar qual dígito hexadecimal corresponde.

Passo 5

Cálculos sucessivos (cada linha: produto, dígito obtido, nova parte fracionária). Todos os números decimais usam vírgula como separador:
0,87\times16 = 13,92\quad\Rightarrow\quad \text{dígito }=13=\mathrm{D},\\ \text{nova frac}=0,92í
0,92\times16 = 14,72\quad\Rightarrow\quad \text{dígito }=14=\mathrm{E},\\ \text{nova frac}=0,72í
0,72\times16 = 11,52\quad\Rightarrow\quad \text{dígito }=11=\mathrm{B},\\ \text{nova frac}=0,52í
0,52\times16 = 8,32\quad\Rightarrow\quad \text{dígito }=8,\\ \text{nova frac}=0,32í
0,32\times16 = 5,12\quad\Rightarrow\quad \text{dígito }=5,\\ \text{nova frac}=0,12í
0,12\times16 = 1,92\quad\Rightarrow\quad \text{dígito }=1,\\ \text{nova frac}=0,92í
Observe que, após o sexto passo, a nova parte fracionária voltou a ser 0,92, a mesma que apareceu após o primeiro passo. Isso indica que a sequência de partes fracionárias entrou em ciclo. Portanto, a sequência de dígitos após a primeira posição vai se repetir.
Os dígitos obtidos, na ordem, são:
\mathrm{D},\\ \mathrm{E},\\ \mathrm{B},\\\ 8,\\\ 5,\\\ 1,\\ \text{e então repete }(\mathrm{E},\mathrm{B},8,5,1,\ldots)ã

Passo 6

Interpretação do ciclo e escrita final da parte fracionária em hexadecimal:
  • O primeiro dígito fracionário é \mathrm{D}.
  • A partir do segundo dígito há um bloco periódico de cinco dígitos \mathrm{E}\mathrm{B}851 que se repete infinitamente.
Usando a notação de repetição com barra, a parte fracionária em hexadecimal é \, \mathrm{D}\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}851}. Juntando com a parte inteira obtida no Passo 3, temos a representação completa.

Resposta

\,987,87_{10}=3\mathrm{D}\mathrm{B},\mathrm{D}\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}851}_{16}

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