Converter o ponto do Sistema de Coordenadas Cartesianas para Esféricas:
(3,3,3)

Passo 1

O enunciado dá o ponto no sistema de coordenadas cartesianas e pede a sua conversão para coordenadas esféricas. Dados fornecidos:
  • Ponto cartesiano: (x,y,z) = (3,3,3).
O que se pede:
  • Encontrar as coordenadas esféricas \rho, \theta e \varphi correspondentes a esse ponto, segundo a convenção que será explicada em seguida.

Passo 2

Escolha da convenção e fórmulas (explicação didática)
  • Vou usar a convenção padrão usada em muitos cursos de cálculo e física: \rho é a distância radial do ponto à origem, \theta é o ângulo polar (medido a partir do eixo z, variando de 0 a \pi) e \varphi é o ângulo azimutal no plano xy (medido a partir do eixo x, variando de 0 a 2\pi).
  • As fórmulas de conversão (cartesiano \to esférico) são:
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{z}{\rho}\right),
\varphi=\operatorname{atan2}(y,x),
onde \operatorname{atan2}(y,x) é a função arco-tangente que devolve o ângulo correto considerando o quadrante de (x,y).
  • Justificativa rápida: desenhe o segmento do ponto até a origem; \rho é esse comprimento. A projeção desse segmento no eixo z tem comprimento \rho\cos\theta, por isso \cos\theta=z/\rho. No plano xy a posição angular é dada por \varphi.

Passo 3

Calcular \rho passo a passo
  • Substituindo x=3, y=3, z=3 na fórmula:
\rho=\sqrt{3^{2}+3^{2}+3^{2}}=\sqrt{9+9+9}=\sqrt{27}.
  • Simplificando \sqrt{27}:
\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}.
Portanto \rho=3\sqrt{3} (valor exato). Em valor decimal aproximado, \rho\approx3\sqrt{3}\approx5,196152....

Passo 4

Calcular \varphi (ângulo azimutal) passo a passo
  • Como x=3>0 e y=3>0, o ponto está no primeiro quadrante do plano xy. Então \operatorname{atan2}(y,x)=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right).
  • Calcule:
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{3}{3}\right)=\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}.
  • Em graus, \varphi=\dfrac{\pi}{4}=45^\circ.

Passo 5

Calcular \theta (ângulo polar) passo a passo
  • Usamos \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{z}{\rho}\right).
  • Substituindo z=3 e \rho=3\sqrt{3}:
\frac{z}{\rho}=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
  • Logo
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
  • Valor decimal aproximado:
\theta\approx0,9553166\\ \text{rad}\approx54,7356^\circ.

Passo 6

Verificação rápida (mostrando que a conversão está consistente)
  • Fórmulas inversas (esférico \to cartesiano) com a convenção usada:
x=\rho\sin\theta\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\theta\sin\varphi,\qquad z=\rho\cos\theta.
  • Já sabemos \cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Então
\sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.
  • Calcule \rho\sin\theta:
\rho\sin\theta=3\sqrt{3}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}=3\sqrt{2}.
  • Como \varphi=\dfrac{\pi}{4}, tem \cos\varphi=\sin\varphi=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Então
x=\rho\sin\theta\cos\varphi=3\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=3,
y=\rho\sin\theta\sin\varphi=3\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=3,
z=\rho\cos\theta=3\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=3.
  • Certo! Voltamos ao ponto original (3,3,3), então os valores encontrados estão corretos.

Passo 7

Resumo e interpretação final (um empurrãozinho motivacional)
  • A forma exata das coordenadas esféricas ficou limpa e simétrica — ótimo sinal — e dá para memorizar: quando x=y=z positivo, \varphi=\pi/4 e \theta é tal que \cos\theta=1/\sqrt{3}. Você já conseguiu! Respira fundo; isso é padrão em provas: pontos com coordenadas iguais frequentemente geram ângulos “bonitos”.

Resposta

\displaystyle (\rho,\theta,\varphi)=\Bigl(3\sqrt{3},\;\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr),\;\tfrac{\pi}{4}\Bigr)
\displaystyle \text{Aproximadamente }(\rho,\theta,\varphi)\approx(5,196152,\;0,9553166,\;\tfrac{\pi}{4}\approx0,785398)

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