Converter o ponto do Sistema de Coordenadas Cartesianas para Esféricas:
Passo 1
O enunciado dá o ponto no sistema de coordenadas cartesianas e pede a sua conversão para coordenadas esféricas. Dados fornecidos:
- Ponto cartesiano:
.
O que se pede:
- Encontrar as coordenadas esféricas
, e correspondentes a esse ponto, segundo a convenção que será explicada em seguida.
Passo 2
Escolha da convenção e fórmulas (explicação didática)
- Vou usar a convenção padrão usada em muitos cursos de cálculo e física:
é a distância radial do ponto à origem, é o ângulo polar (medido a partir do eixo , variando de a ) e é o ângulo azimutal no plano (medido a partir do eixo , variando de a ). - As fórmulas de conversão (cartesiano
esférico) são:
onde
é a função arco-tangente que devolve o ângulo correto considerando o quadrante de
.
- Justificativa rápida: desenhe o segmento do ponto até a origem;
é esse comprimento. A projeção desse segmento no eixo tem comprimento , por isso . No plano a posição angular é dada por .
Passo 3
Calcular
passo a passo
- Substituindo
, , na fórmula:
- Simplificando
:
Portanto
(valor exato). Em valor decimal aproximado,
.
Passo 4
Calcular
(ângulo azimutal) passo a passo
- Como
e , o ponto está no primeiro quadrante do plano . Então . - Calcule:
- Em graus,
.
Passo 5
Calcular
(ângulo polar) passo a passo
- Usamos
. - Substituindo
e :
- Logo
- Valor decimal aproximado:
Passo 6
Verificação rápida (mostrando que a conversão está consistente)
- Fórmulas inversas (esférico
cartesiano) com a convenção usada:
- Já sabemos
. Então
- Calcule
:
- Como
, tem . Então
- Certo! Voltamos ao ponto original
, então os valores encontrados estão corretos.
Passo 7
Resumo e interpretação final (um empurrãozinho motivacional)
- A forma exata das coordenadas esféricas ficou limpa e simétrica — ótimo sinal — e dá para memorizar: quando
positivo, e é tal que . Você já conseguiu! Respira fundo; isso é padrão em provas: pontos com coordenadas iguais frequentemente geram ângulos “bonitos”.