Converter o ponto do Sistema de Coordenadas Cartesianas para Esféricas:
(-4,4,4)

Passo 1

O enunciado pede que se converta o ponto dado no sistema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas esféricas. As informações fornecidas são:
  • Coordenadas cartesianas do ponto: x=-4, y=4, z=4.
O que precisa ser encontrado:
  • As coordenadas esféricas \bigl(\rho,\theta,\varphi\bigr) correspondentes a esse ponto, usando alguma convenção de esféricas (definida no passo seguinte).

Passo 2

Vou explicitar a convenção de coordenadas esféricas que vou usar (importante: existem variações; estou escolhendo uma muito comum):
  • \rho é a distância do ponto à origem (sempre \rho\ge 0).
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo positivo x para o eixo y. Normalmente \theta\in[0,2\pi).
  • \varphi é o ângulo polar (colatitude), medido a partir do eixo positivo z até o raio que liga a origem ao ponto. Normalmente \varphi\in[0,\pi].
Fórmulas de conversão (do cartesiano (x,y,z) para esféricas (\rho,\theta,\varphi)):
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
\theta=\operatorname{atan2}(y,x)\quad\text{(azimute, levando em conta o quadrante)},
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{\rho}\right).
Explicação curta das fórmulas:
  • A primeira é apenas a distância no espaço tridimensional (teorema de Pitágoras em 3D).
  • A segunda usa a função \operatorname{atan2} para obter o ângulo correto no plano xy levando em conta sinais de x e y; se preferir, encontra-se o ângulo de referência pela razão y/x e corrige conforme o quadrante.
  • A terceira vem da definição de cosseno no triângulo formado pelo eixo z e o raio: \cos\varphi = z/\rho.

Passo 3

Calcular \rho passo a passo:
\rho=\sqrt{(-4)^{2}+4^{2}+4^{2}}=\sqrt{16+16+16}=\sqrt{48}.
Fatorando \sqrt{48}:
\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}.
Logo \rho=4\sqrt{3}.

Passo 4

Calcular \theta (azimute) com cuidado sobre o quadrante.
Primeiro a razão:
\frac{y}{x}=\frac{4}{-4}=-1.
A razão |y/x|=1 indica um ângulo de referência de \tfrac{\pi}{4} (45°). Agora ver os sinais:
  • x=-4<0 e y=4>0 -> isso coloca o ponto no segundo quadrante do plano xy.
    No segundo quadrante o ângulo correspondente é
\theta=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}.
Isso também é consistente com \operatorname{atan2}(4,-4)=\tfrac{3\pi}{4}. Portanto \theta=\tfrac{3\pi}{4}.

Passo 5

Calcular \varphi:
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{\rho}\right)=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{4}{4\sqrt{3}}\right)=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
Podemos deixar \varphi na forma exata \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr). Se quiser uma aproximação:
\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}57735\quad\Rightarrow\quad \varphi\approx 0{,}95532\\ \text{rad}\approx 54{,}7356^\circ.

Passo 6

Verificação rápida (reconstruir x,y,z a partir de (\rho,\theta,\varphi) para garantir que está tudo coerente).
Fórmulas de volta (esféricas \to cartesianas):
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
Calculemos os fatores:
\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad \sin\varphi=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.
E
\cos\theta=\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)=-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\qquad \sin\theta=\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}.
Agora:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta=4\sqrt{3}\cdot\sqrt{\tfrac{2}{3}}\cdot\left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
Simplificando passo a passo:
\sqrt{3}\cdot\sqrt{\tfrac{2}{3}}=\sqrt{2},
então
x=4\cdot\sqrt{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=-4.
Para y:
y=4\sqrt{3}\cdot\sqrt{\tfrac{2}{3}}\cdot\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=4.
E para z:
z=4\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=4.
Recuperamos (x,y,z)=(-4,4,4), confirmação de que os valores encontrados estão corretos.

Resposta

\displaystyle \bigl(\rho,\theta,\varphi\bigr)=\left(4\sqrt{3},\,\tfrac{3\pi}{4},\,\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)\right)
\displaystyle \text{(aprox.) }\bigl(\rho,\theta,\varphi\bigr)\approx\bigl(6{,}9282,\;2{,}35619,\;0{,}95532\bigr)

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