Converter o ponto do Sistema de Coordenadas Cartesianas para Esféricas:
Passo 1
O enunciado pede que se converta o ponto dado no sistema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas esféricas. As informações fornecidas são:
- Coordenadas cartesianas do ponto:
, , .
O que precisa ser encontrado:
- As coordenadas esféricas
correspondentes a esse ponto, usando alguma convenção de esféricas (definida no passo seguinte).
Passo 2
Vou explicitar a convenção de coordenadas esféricas que vou usar (importante: existem variações; estou escolhendo uma muito comum):
-
é a distância do ponto à origem (sempre ). -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo positivo para o eixo . Normalmente . -
é o ângulo polar (colatitude), medido a partir do eixo positivo até o raio que liga a origem ao ponto. Normalmente .
Fórmulas de conversão (do cartesiano
para esféricas
):
Explicação curta das fórmulas:
- A primeira é apenas a distância no espaço tridimensional (teorema de Pitágoras em 3D).
- A segunda usa a função
para obter o ângulo correto no plano levando em conta sinais de e ; se preferir, encontra-se o ângulo de referência pela razão e corrige conforme o quadrante. - A terceira vem da definição de cosseno no triângulo formado pelo eixo
e o raio: .
Passo 3
Calcular
passo a passo:
Fatorando
:
Logo
.
Passo 4
Calcular
(azimute) com cuidado sobre o quadrante.
Primeiro a razão:
Primeiro a razão:
A razão
indica um ângulo de referência de
(45°). Agora ver os sinais:
-
e -> isso coloca o ponto no segundo quadrante do plano .
No segundo quadrante o ângulo correspondente é
Isso também é consistente com
. Portanto
.
Passo 5
Calcular
:
Podemos deixar
na forma exata
. Se quiser uma aproximação:
Passo 6
Verificação rápida (reconstruir
a partir de
para garantir que está tudo coerente).
Fórmulas de volta (esféricas
cartesianas):
Calculemos os fatores:
E
Agora:
Simplificando passo a passo:
então
Para
:
E para
:
Recuperamos
, confirmação de que os valores encontrados estão corretos.