Converter o ponto do Sistema de Coordenadas Cartesianas para Esféricas:
(2,-2,1)

Passo 1

O enunciado dá o ponto cartesiano \,(2,-2,1)\, e pede para convertê-lo para coordenadas esféricas.
As quantidades que precisamos fornecer são o raio \,r, o ângulo polar \,\theta (medido a partir do eixo z) e o ângulo azimutal \,\varphi (medido no plano xy a partir do eixo x).

Passo 2

Vou explicitar a convenção que vou usar (importante: existem convenções diferentes; explico a minha para evitar confusão). Escolho a convenção usual em física/engenharia:
  • \,r é a distância do ponto à origem, com \,r\ge 0.
  • \,\theta é o ângulo polar, medido a partir do eixo positivo z; portanto \theta\in[0,\pi].
  • \,\varphi é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo positivo x no sentido anti-horário; normalmente \varphi\in[0,2\pi).
As fórmulas que usamos são:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{r}\right),
\varphi=\operatorname{atan2}(y,x).
Explicação rápida das fórmulas:
  • \,r vem diretamente da distância euclidiana em \mathbb{R}^{3}.
  • \,\theta vem de \cos\theta=z/r (projeta-se o vetor na direção z).
  • \operatorname{atan2}(y,x) é a função arco-tangente que leva em conta o sinal de x e y para colocar o ângulo no quadrante correto (mais robusta que usar \arctan(y/x) puro).

Passo 3

Calcular \,r. Substituindo x=2, y=-2, z=1:
r=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3.
Comentário amigável: ótimo — aqui deu inteiro, então já ganhamos tempo na prova!

Passo 4

Calcular \,\theta. Primeiro a razão z/r:
\frac{z}{r}=\frac{1}{3}.
Portanto
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{3}\right).
Breve aula sobre \operatorname{arccos}: é a função inversa do cosseno no intervalo [0,\pi]. Como \frac{1}{3} está entre -1 e 1, \operatorname{arccos}(1/3) é um ângulo válido em [0,\pi]. Em forma exata fica \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right). Se quiser aproximação numérica:
\theta\approx 1,2309594\\ \text{rad}\approx 70,52878^\circ.

Passo 5

Calcular \,\varphi. Usamos \operatorname{atan2}(y,x)=\operatorname{atan2}(-2,2). Raciocínio de quadrante:
  • x=2>0 e y=-2<0, portanto o ponto está no quarto quadrante do plano xy.
    A função \operatorname{atan2}(-2,2) dá o ângulo -\pi/4 (ou, em forma equivalente no intervalo [0,2\pi), 2\pi-\pi/4). Assim:
\varphi=\operatorname{atan2}(-2,2)=-\frac{\pi}{4}.
Como normalmente apresentamos \varphi em [0,2\pi), é mais comum usar
\varphi=2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}.
Aproximação:
\varphi\approx -0,7853982\\ \text{rad}\quad\text{(equivalente a)}\quad \varphi\approx 5,4977871\\ \text{rad}=\;315^\circ.

Passo 6

Resumo final (forma exata e aproximações):
  • Exato: \displaystyle\bigl(r,\theta,\varphi\bigr)=\left(3,\;\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right),\;\tfrac{7\pi}{4}\right).
  • Aproximado: \displaystyle\bigl(r,\theta,\varphi\bigr)\approx\left(3,\;1,2309594,\;5,4977871\right) (radianos) \approx\left(3,\;70,52878^\circ,\;315^\circ\right).
Dica rápida para a prova: calcule sempre r primeiro; use \operatorname{arccos}(z/r) para \theta (evita ambiguidade) e \operatorname{atan2}(y,x) para \varphi para garantir o quadrante correto — isso previne erros comuns com sinais.

Resposta

\displaystyle\bigl(r,\theta,\varphi\bigr)=\left(3,\;\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right),\;\tfrac{7\pi}{4}\right)
\displaystyle\text{Aproximadamente } \bigl(r,\theta,\varphi\bigr)\approx\left(3,\;1,2309594,\;5,4977871\right)

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