Converter o ponto do Sistema de Coordenadas Cartesianas para Esféricas:
Passo 1
O enunciado dá o ponto cartesiano
e pede para convertê-lo para coordenadas esféricas.
As quantidades que precisamos fornecer são o raio , o ângulo polar
(medido a partir do eixo
) e o ângulo azimutal
(medido no plano
a partir do eixo
).
As quantidades que precisamos fornecer são o raio
Passo 2
Vou explicitar a convenção que vou usar (importante: existem convenções diferentes; explico a minha para evitar confusão). Escolho a convenção usual em física/engenharia:
-
é a distância do ponto à origem, com . -
é o ângulo polar, medido a partir do eixo positivo ; portanto . -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo positivo no sentido anti-horário; normalmente .
As fórmulas que usamos são:
Explicação rápida das fórmulas:
-
vem diretamente da distância euclidiana em . -
vem de (projeta-se o vetor na direção ). -
é a função arco-tangente que leva em conta o sinal de e para colocar o ângulo no quadrante correto (mais robusta que usar puro).
Passo 3
Calcular
. Substituindo
,
,
:
Comentário amigável: ótimo — aqui deu inteiro, então já ganhamos tempo na prova!
Passo 4
Calcular
. Primeiro a razão
:
Portanto
Breve aula sobre
: é a função inversa do cosseno no intervalo
. Como
está entre
e
,
é um ângulo válido em
. Em forma exata fica
. Se quiser aproximação numérica:
Passo 5
Calcular
. Usamos
. Raciocínio de quadrante:
-
e , portanto o ponto está no quarto quadrante do plano .
A funçãodá o ângulo (ou, em forma equivalente no intervalo , ). Assim:
Como normalmente apresentamos
em
, é mais comum usar
Aproximação:
Passo 6
Resumo final (forma exata e aproximações):
- Exato:
- Aproximado:
(radianos)
Dica rápida para a prova: calcule sempre
primeiro; use
para
(evita ambiguidade) e
para
para garantir o quadrante correto — isso previne erros comuns com sinais.