Convolução/deconvolução discreta: calcular
ou
segundo o caso (usar diferentes métodos):
Passo 1
O enunciado dá duas sequências finitas (vou usar a convenção usual de índices começando em
; isto é, o primeiro elemento corresponde a
):
-
. Isso significa:
-
. Isso significa:
O que se pede (implícito pelo enunciado) é calcular a convolução discreta linear
. Informações relevantes:
- Comprimentos:
comprimento de é , de é . - Para convolução linear, o comprimento de
será , logo teremos para .
Não vou ainda calcular nada neste passo — só organizei os dados e as perguntas.
Passo 2
Definição e ideia prática da convolução (aula curtinha e prática).
- Definição formal: a convolução discreta é
Aqui:
-
é o índice onde avaliamos ; -
é a variável de soma que percorre todos os índices de (na prática, só onde e existem); -
e são multiplicados e somados para todo . -
Por sermos sequências finitas e com índices
a para e a para , a soma reduz a um intervalo finito. Para um fixo os termos não nulos são aqueles com tal que e . Assim os limites efetivos da soma podem ser escritos como
- Interpretação prática: para cada
alinhamos a sequência invertida e deslocada (ou, equivalente, somamos produtos ). Vamos usar essa fórmula direta para calcular cada e depois checar por outros métodos.
Passo 3
Cálculo de
usando a definição direta.
- Para
os limites são até . Então só há um termo:
Passo 4
Cálculo de
.
- Para
, vai de até . Assim
Passo 5
Cálculo de
.
- Para
, :
Passo 6
Cálculo de
.
- Para
, :
Passo 7
Cálculo de
.
- Para
, os válidos são (porque até ):
Passo 8
Cálculo de
.
- Para
, :
Passo 9
Cálculo de
.
- Para
, :
Passo 10
Cálculo de
.
- Para
, apenas:
Até aqui obtivemos todos os valores de
pelo método da soma direta. Mas é útil ver outros métodos para confirmar e para ganhar prática — vou mostrar mais duas formas (polinomial e tabela) que são equivalentemente rápidas na prova.
Passo 11
Método 2 — interpretação como multiplicação de polinômios (método prático e elegante).
- Representa-se cada sequência como um polinômio cujos coeficientes são os elementos, usando a potência
(coeficiente de = valor em ). Aqui uso potências ascendentes porque os índices começam em :
- A convolução corresponde ao produto de polinômios:
- Multiplicando por distribuição (cada termo de
vezes ) e somando os coeficientes deslocados:
- Somando os coeficientes por potência de
(graus a ) obtemos exatamente os valores de para . Fazendo a soma coluna a coluna resulta em
ou seja os coeficientes (que são
) coincidem com os valores calculados antes.]
Passo 12
Método 3 — tabela de sobreposição (visual, ótimo para prova sem letras demais).
-
Escreve-se
na primeira linha e, abaixo dela, coloca-se cada deslocamento de multiplicado pelo respectivo -coeficiente, ou alternativamente escreve-se cada multiplicando toda a sequência deslocada. Aqui apresento rapidamente a ideia: multiplicar cada elemento de por toda a sequência deslocada e somar colunas. -
Exemplo rápido (esquemático — colunas representam potências
):
- Somando as colunas obtemos
, exatamente como antes. Esse formato é rápido de fazer à mão e ajuda a evitar erros de sinais.