Convolução/deconvolução discreta: calcular y[n], x[n] ou h[n] segundo o caso (usar diferentes métodos):
x[n]=\{3,2,1,2,3\}
h[n]=\{2,-2,1,-1\}

Passo 1

O enunciado dá duas sequências finitas (vou usar a convenção usual de índices começando em n=0; isto é, o primeiro elemento corresponde a n=0):
  • x[n]=\{3,2,1,2,3\}. Isso significa:
x[0]=3,\; x[1]=2,\; x[2]=1,\; x[3]=2,\; x[4]=3.
  • h[n]=\{2,-2,1,-1\}. Isso significa:
h[0]=2,\; h[1]=-2,\; h[2]=1,\; h[3]=-1.
O que se pede (implícito pelo enunciado) é calcular a convolução discreta linear y[n]=x[n]*h[n]. Informações relevantes:
  • Comprimentos: comprimento de x[n] é 5, de h[n] é 4.
  • Para convolução linear, o comprimento de y[n] será 5+4-1=8, logo teremos y[n] para n=0,1,\dots,7.
Não vou ainda calcular nada neste passo — só organizei os dados e as perguntas.

Passo 2

Definição e ideia prática da convolução (aula curtinha e prática).
  • Definição formal: a convolução discreta é
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\;h[n-k].
Aqui:
  • n é o índice onde avaliamos y;
  • k é a variável de soma que percorre todos os índices de x (na prática, só onde x[k] e h[n-k] existem);
  • x[k] e h[n-k] são multiplicados e somados para todo k.
  • Por sermos sequências finitas e com índices 0 a 4 para x e 0 a 3 para h, a soma reduz a um intervalo finito. Para um n fixo os termos não nulos são aqueles com k tal que 0\le k\le4 e 0\le n-k\le3. Assim os limites efetivos da soma podem ser escritos como
k=\max(0,n-3),\\ \ldots,\\ \min(n,4).
  • Interpretação prática: para cada n alinhamos a sequência h invertida e deslocada (ou, equivalente, somamos produtos x[k]h[n-k]). Vamos usar essa fórmula direta para calcular cada y[n] e depois checar por outros métodos.

Passo 3

Cálculo de y[0] usando a definição direta.
  • Para n=0 os limites são k=\max(0,0-3)=0 até \min(0,4)=0. Então só há um termo:
y[0]=x[0]\,h[0]=3\cdot 2=6.

Passo 4

Cálculo de y[1].
  • Para n=1, k vai de 0 até 1. Assim
y[1]=x[0]\,h[1]+x[1]\,h[0]=3\cdot(-2)+2\cdot 2=-6+4=-2.

Passo 5

Cálculo de y[2].
  • Para n=2, k=0,1,2:
y[2]=x[0]\,h[2]+x[1]\,h[1]+x[2]\,h[0]=3\cdot 1 + 2\cdot(-2) + 1\cdot 2 =3-4+2=1.

Passo 6

Cálculo de y[3].
  • Para n=3, k=0,1,2,3:
\begin{aligned} y[3]&=x[0]\,h[3]+x[1]\,h[2]+x[2]\,h[1]+x[3]\,h[0]\\\ &=3\cdot(-1)+2\cdot 1 + 1\cdot(-2)+2\cdot 2\\\ &=-3+2-2+4=1. \end{aligned}

Passo 7

Cálculo de y[4].
  • Para n=4, os k válidos são 1,2,3,4 (porque n-3=1 até \min(4,4)=4):
\begin{aligned} y[4]&=x[1]\,h[3]+x[2]\,h[2]+x[3]\,h[1]+x[4]\,h[0]\\\ &=2\cdot(-1)+1\cdot 1 + 2\cdot(-2)+3\cdot 2\\\ &=-2+1-4+6=1. \end{aligned}

Passo 8

Cálculo de y[5].
  • Para n=5, k=2,3,4:
\begin{aligned} y[5]&=x[2]\,h[3]+x[3]\,h[2]+x[4]\,h[1]\\\ &=1\cdot(-1)+2\cdot 1 + 3\cdot(-2)\\\ &=-1+2-6=-5. \end{aligned}

Passo 9

Cálculo de y[6].
  • Para n=6, k=3,4:
y[6]=x[3]\,h[3]+x[4]\,h[2]=2\cdot(-1)+3\cdot 1=-2+3=1.

Passo 10

Cálculo de y[7].
  • Para n=7, k=4 apenas:
y[7]=x[4]\,h[3]=3\cdot(-1)=-3.
Até aqui obtivemos todos os valores de y[n] pelo método da soma direta. Mas é útil ver outros métodos para confirmar e para ganhar prática — vou mostrar mais duas formas (polinomial e tabela) que são equivalentemente rápidas na prova.

Passo 11

Método 2 — interpretação como multiplicação de polinômios (método prático e elegante).
  • Representa-se cada sequência como um polinômio cujos coeficientes são os elementos, usando a potência z^n (coeficiente de z^n = valor em n). Aqui uso potências ascendentes porque os índices começam em 0:
\begin{aligned} X(z)&=3 + 2z + 1z^{2} + 2z^{3} + 3z^{4},\\[4pt] H(z)&=2 - 2z + 1z^{2} - 1z^{3}. \end{aligned}
  • A convolução corresponde ao produto de polinômios:
Y(z)=X(z)\,H(z).
  • Multiplicando por distribuição (cada termo de X vezes H) e somando os coeficientes deslocados:
\begin{aligned} 3\cdot H(z)&=6 -6z +3z^{2} -3z^{3},\\\\ 2z\cdot H(z)&=0 +4z -4z^{2} +2z^{3} -2z^{4},\\\\ 1z^{2}\cdot H(z)&=0 +0 +2z^{2} -2z^{3} +1z^{4} -1z^{5},\\\\ 2z^{3}\cdot H(z)&=0 +0 +0 +4z^{3} -4z^{4} +2z^{5} -2z^{6},\\\\ 3z^{4}\cdot H(z)&=0 +0 +0 +0 +6z^{4} -6z^{5} +3z^{6} -3z^{7}. \end{aligned}
  • Somando os coeficientes por potência de z (graus 0 a 7) obtemos exatamente os valores de y[n] para n=0,\dots,7. Fazendo a soma coluna a coluna resulta em
Y(z)=6 -2z +1z^{2} +1z^{3} +1z^{4} -5z^{5} +1z^{6} -3z^{7},
ou seja os coeficientes (que são y[n]) coincidem com os valores calculados antes.]

Passo 12

Método 3 — tabela de sobreposição (visual, ótimo para prova sem letras demais).
  • Escreve-se x na primeira linha e, abaixo dela, coloca-se cada deslocamento de h multiplicado pelo respectivo x-coeficiente, ou alternativamente escreve-se cada x[k] multiplicando toda a sequência h deslocada. Aqui apresento rapidamente a ideia: multiplicar cada elemento de x por toda a sequência h deslocada e somar colunas.
  • Exemplo rápido (esquemático — colunas representam potências n):
\begin{array}{rcccccccc} x[0]\cdot h: & 6 & -6 & 3 & -3 & 0 & 0 & 0 & 0\\\ x[1]\cdot h: & 0 & 4 & -4 & 2 & -2 & 0 & 0 & 0\\\ x[2]\cdot h: & 0 & 0 & 2 & -2 & 1 & -1 & 0 & 0\\\ x[3]\cdot h: & 0 & 0 & 0 & 4 & -4 & 2 & -2 & 0\\\ x[4]\cdot h: & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & -6 & 3 & -3\\hline \text{soma (}y[n]\text{):} & 6 & -2 & 1 & 1 & 1 & -5 & 1 & -3 \end{array}
  • Somando as colunas obtemos y[0]=6,\\ y[1]=-2,\\ y[2]=1,\\ y[3]=1,\\ y[4]=1,\\ y[5]=-5,\\ y[6]=1,\\ y[7]=-3, exatamente como antes. Esse formato é rápido de fazer à mão e ajuda a evitar erros de sinais.

Resposta

y[n]=\{6,\,-2,\,1,\,1,\,1,\,-5,\,1,\,-3\}

Exercícios relacionados