Determine se os seguintes sistemas são: sem memória, causal, linear, invariante no tempo ou estável.
y[n]=\mathbf{T}{x[n]}=n x[n] \quad y[n]=\mathbf{T}{x[n]}=x[k_{0} n]

Passo 1

O enunciado pede: para cada um dos dois sistemas dados, determinar se ele é sem memória, causal, linear, invariante no tempo e estável. Os sistemas fornecidos são:
  • Sistema A: y[n]=\mathbf{T}\{x[n]\}=n\,x[n].
  • Sistema B: y[n]=\mathbf{T}\{x[n]\}=x[k_{0}n], onde k_{0} é uma constante inteira (assumida inteira para que o índice k_{0}n faça sentido em tempo discreto).
As cinco propriedades a verificar são:
  1. sem memória (memoryless);
  2. causal;
  3. linear;
  4. invariante no tempo (time-invariant);
  5. estável (BIBO: bounded-input bounded-output).

Passo 2

Definição e teste de “sem memória” (memoryless).
Definição: um sistema é sem memória se, para todo n, a saída y[n] depende apenas do valor do sinal de entrada no mesmo instante x[n] — isto é, não pode depender de x[m] com m\neq n. Agora aplicamos isso aos sistemas.
  • Sistema A: y[n]=n\,x[n]. Aqui, para cada n, a saída usa somente x[n] (multiplicada pela constante/escala n). Mesmo que haja o fator n (que depende do tempo), o valor de y[n] não usa x[m] para m\neq n. Conclusão: o sistema A é sem memória (memoryless).
  • Sistema B: y[n]=x[k_{0}n]. Para um dado n, a saída usa x no índice k_{0}n. Em geral k_{0}n\neq n, então y[n] depende de um valor de x em instante diferente de n. Portanto, para k_{0}\neq 1 o sistema B não é sem memória. Observação especial: se k_{0}=1, então y[n]=x[n] e o sistema é sem memória; caso contrário (por exemplo k_{0}=0,2,-1,\ldots) não é sem memória.

Passo 3

Definição e teste de causalidade.
Definição: um sistema é causal se, para cada n, a saída y[n] depende apenas de valores de x[m] com m\le n (presentes ou passados), nunca de valores futuros m>n.
  • Sistema A: y[n]=n\,x[n]. A saída usa apenas x[n] (instante presente). Logo depende somente de instantes m\le n (especificamente m=n). Conclusão: o sistema A é causal.
  • Sistema B: y[n]=x[k_{0}n]. Para ser causal precisamos ter, para todo n, k_{0}n \le n. Vamos analisar isso para todos os inteiros n:
    • Se n>0, dividir por n k_{0}\le 1.
    • Se n<0, dividir por n (negativo) inverte a desigualdade e dá k_{0}\ge 1.
    • Para que as duas condições valham para todos os n deve ocorrer k_{0}=1.
      Portanto o sistema B é causal somente no caso k_{0}=1. Para qualquer outro valor de k_{0} existem índices n tais que k_{0}n>n, ou seja, a saída usa valores futuros de x e o sistema não é causal.

Passo 4

Definição e teste de linearidade.
Definição: um sistema \mathbf{T} é linear se, para quaisquer sinais x_{1}[n],x_{2}[n] e escalares a,b, vale
\mathbf{T}\{a x_{1}[n] + b x_{2}[n]\} = a\,\mathbf{T}\{x_{1}[n]\} + b\,\mathbf{T}\{x_{2}[n]\}.
Testamos os dois sistemas:
  • Sistema A: calculemos \mathbf{T}\{a x_{1}[n] + b x_{2}[n]\}:
\mathbf{T}\{a x_{1}[n] + b x_{2}[n]\} = n\bigl(a x_{1}[n] + b x_{2}[n]\bigr) = a\,n x_{1}[n] + b\,n x_{2}[n].
Isso é exatamente a\,\mathbf{T}\{x_{1}[n]\} + b\,\mathbf{T}\{x_{2}[n]\}. Logo o sistema A é linear.
  • Sistema B: calculemos \mathbf{T}\{a x_{1}[n] + b x_{2}[n]\}:
\mathbf{T}\{a x_{1}[n] + b x_{2}[n]\} = (a x_{1} + b x_{2})[k_{0}n] = a\,x_{1}[k_{0}n] + b\,x_{2}[k_{0}n].
Novamente isso é a\,\mathbf{T}\{x_{1}[n]\} + b\,\mathbf{T}\{x_{2}[n]\}. Portanto o sistema B é linear para qualquer k_{0}.

Passo 5

Definição e teste de invariância no tempo (time-invariance).
Definição: \mathbf{T} é invariante no tempo se, para qualquer deslocamento inteiro n_{0},
\mathbf{T}\{x[n-n_{0}]\}[n] = \bigl(\mathbf{T}\{x[n]\}\bigr)[n-n_{0}],
ou, em palavras, aplicar o deslocamento na entrada e depois o sistema dá o mesmo resultado que aplicar o sistema e depois deslocar a saída.
  • Sistema A: primeiro calcule \mathbf{T}\{x[n-n_{0}]\}[n]:
\mathbf{T}\{x[n-n_{0}]\}[n] = n\cdot x[n-n_{0}].
Agora calcule a saída do sistema com entrada x e depois desloque:
\bigl(\mathbf{T}\{x[n]\}\bigr)[n-n_{0}] = (n-n_{0})\cdot x[n-n_{0}].
Como n\cdot x[n-n_{0}] e (n-n_{0})\cdot x[n-n_{0}] não são iguais para todo n_{0} (exceto n_{0}=0), o sistema A não é invariante no tempo. Intuição: o fator multiplicativo n depende explicitamente do instante absoluto, quebrando a invariância temporal.
  • Sistema B: primeiro calcule \mathbf{T}\{x[n-n_{0}]\}[n]:
\mathbf{T}\{x[n-n_{0}]\}[n] = x[k_{0}n - n_{0}],
pois (x[n-n_{0}])[k_{0}n] = x[k_{0}n - n_{0}].
Agora calcule \bigl(\mathbf{T}\{x[n]\}\bigr)[n-n_{0}]:
\bigl(\mathbf{T}\{x[n]\}\bigr)[n-n_{0}] = x[k_{0}(n-n_{0})] = x[k_{0}n - k_{0}n_{0}].
Comparando x[k_{0}n - n_{0}] com x[k_{0}n - k_{0}n_{0}], vemos que são iguais para todo n e todo x somente se n_{0}=k_{0}n_{0} para todo deslocamento n_{0}, o que força k_{0}=1. Portanto o sistema B é invariante no tempo somente quando k_{0}=1; para outros k_{0} ele é variante no tempo.

Passo 6

Definição e teste de estabilidade (BIBO).
Definição: o sistema é BIBO estável se, sempre que a entrada for limitada, isto é existe B<\infty tal que |x[n]|\le B para todo n, então a saída também é limitada: existe C<\infty com |y[n]|\le C para todo n.
  • Sistema A: suponha |x[n]|\le B. Então
|y[n]| = |n\,x[n]| \le |n|\,B.
O fator |n|\,B cresce sem limite quando n\to\pm\infty, portanto não existe constante finita C que limite |y[n]| para todos os n. Conclusão: o sistema A não é BIBO estável (não estável).
  • Sistema B: suponha |x[n]|\le B. Então, para todo n,
|y[n]| = |x[k_{0}n]| \le B,
pois k_{0}n é apenas outro índice inteiro. Assim a saída é também limitada por B. Portanto o sistema B é BIBO estável para qualquer k_{0}.

Passo 7

Resumo final (resposta concisa por sistema). Lembre-se: em alguns casos o resultado depende do valor de k_{0}; isso está indicado abaixo.

Resposta

Para \;y[n]=n\,x[n]: sem memória: sim; causal: sim; linear: sim; invariante no tempo: não; estável: não.
Para \;y[n]=x[k_{0}n]: sem memória: sim somente se k_{0}=1 (caso geral: não); causal: sim somente se k_{0}=1 (caso geral: não); linear: sim para todo k_{0}; invariante no tempo: sim somente se k_{0}=1 (caso geral: não); estável: sim para todo k_{0}.

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