Determine se os seguintes sistemas são: sem memória, causal, linear, invariante no tempo ou estável.
Passo 1
O enunciado pede: para cada um dos dois sistemas dados, determinar se ele é sem memória, causal, linear, invariante no tempo e estável. Os sistemas fornecidos são:
- Sistema A:
. - Sistema B:
, onde é uma constante inteira (assumida inteira para que o índice faça sentido em tempo discreto).
As cinco propriedades a verificar são:
- sem memória (memoryless);
- causal;
- linear;
- invariante no tempo (time-invariant);
- estável (BIBO: bounded-input bounded-output).
Passo 2
Definição e teste de “sem memória” (memoryless).
Definição: um sistema é sem memória se, para todo , a saída
depende apenas do valor do sinal de entrada no mesmo instante
— isto é, não pode depender de
com
. Agora aplicamos isso aos sistemas.
Definição: um sistema é sem memória se, para todo
-
Sistema A:
. Aqui, para cada , a saída usa somente (multiplicada pela constante/escala ). Mesmo que haja o fator (que depende do tempo), o valor de não usa para . Conclusão: o sistema A é sem memória (memoryless). -
Sistema B:
. Para um dado , a saída usa no índice . Em geral , então depende de um valor de em instante diferente de . Portanto, para o sistema B não é sem memória. Observação especial: se , então e o sistema é sem memória; caso contrário (por exemplo ) não é sem memória.
Passo 3
Definição e teste de causalidade.
Definição: um sistema é causal se, para cada , a saída
depende apenas de valores de
com
(presentes ou passados), nunca de valores futuros
.
Definição: um sistema é causal se, para cada
-
Sistema A:
. A saída usa apenas (instante presente). Logo depende somente de instantes (especificamente ). Conclusão: o sistema A é causal. -
Sistema B:
. Para ser causal precisamos ter, para todo , . Vamos analisar isso para todos os inteiros : - Se
, dividir por dá . - Se
, dividir por (negativo) inverte a desigualdade e dá . - Para que as duas condições valham para todos os
deve ocorrer .
Portanto o sistema B é causal somente no caso. Para qualquer outro valor de existem índices tais que , ou seja, a saída usa valores futuros de e o sistema não é causal.
- Se
Passo 4
Definição e teste de linearidade.
Definição: um sistema é linear se, para quaisquer sinais
e escalares
, vale
Definição: um sistema
Testamos os dois sistemas:
- Sistema A: calculemos
:
Isso é exatamente
. Logo o sistema A é linear.
- Sistema B: calculemos
:
Novamente isso é
. Portanto o sistema B é linear para qualquer
.
Passo 5
Definição e teste de invariância no tempo (time-invariance).
Definição: é invariante no tempo se, para qualquer deslocamento inteiro
,
Definição:
ou, em palavras, aplicar o deslocamento na entrada e depois o sistema dá o mesmo resultado que aplicar o sistema e depois deslocar a saída.
- Sistema A: primeiro calcule
:
Agora calcule a saída do sistema com entrada
e depois desloque:
Como
e
não são iguais para todo
(exceto
), o sistema A não é invariante no tempo. Intuição: o fator multiplicativo
depende explicitamente do instante absoluto, quebrando a invariância temporal.
- Sistema B: primeiro calcule
:
pois
.
Agora calcule :
Agora calcule
Comparando
com
, vemos que são iguais para todo
e todo
somente se
para todo deslocamento
, o que força
. Portanto o sistema B é invariante no tempo somente quando
; para outros
ele é variante no tempo.
Passo 6
Definição e teste de estabilidade (BIBO).
Definição: o sistema é BIBO estável se, sempre que a entrada for limitada, isto é existe tal que
para todo
, então a saída também é limitada: existe
com
para todo
.
Definição: o sistema é BIBO estável se, sempre que a entrada for limitada, isto é existe
- Sistema A: suponha
. Então
O fator
cresce sem limite quando
, portanto não existe constante finita
que limite
para todos os
. Conclusão: o sistema A não é BIBO estável (não estável).
- Sistema B: suponha
. Então, para todo ,
pois
é apenas outro índice inteiro. Assim a saída é também limitada por
. Portanto o sistema B é BIBO estável para qualquer
.
Passo 7
Resumo final (resposta concisa por sistema). Lembre-se: em alguns casos o resultado depende do valor de
; isso está indicado abaixo.
Resposta
Para
: sem memória: sim; causal: sim; linear: sim; invariante no tempo: não; estável: não.
Para : sem memória: sim somente se
(caso geral: não); causal: sim somente se
(caso geral: não); linear: sim para todo
; invariante no tempo: sim somente se
(caso geral: não); estável: sim para todo
.
Para