Convolução/deconvolução discreta: calcular y[n], x[n] ou h[n] segundo o caso (usar diferentes métodos): y[n]=\{28,62,65,54,48,23,71,40\} x[n]=\{3,1,3,2\}
Passo 1
O enunciado nos dá as duas sequências (assumirei a convenção natural: índices começando em n=0 e sequências causais):
O que está implícito é encontrar h[n] (ou seja, fazer a deconvolução) tal que
y[n]=x[n]*h[n].
Tamanhos:
N_x=4,\qquad N_y=8.
Para convolução linear discreta de duas sequências finitas vale N_y=N_x+N_h-1. Assim o comprimento necessário para h[n] é
N_h = N_y - N_x + 1 = 8-4+1 = 5.
Portanto procuramos h[n] com 5 amostras: \;h[0],h[1],h[2],h[3],h[4].
Passo 2
Relembrando a fórmula da convolução discreta (modo que usaremos, assumindo índices começando em 0 e sequências causais):
y[n]=\sum_{k=0}^{N_x-1} x[k]\,h[n-k],
onde h[\ell]=0 se \ell\notin\{0,\dots,N_h-1\} e x[k]=0 se k\notin\{0,\dots,N_x-1\}.
É mais prático montar o sistema linear em forma matricial Xh=y, onde h=(h[0],\dots,h[4])^T e cada linha de X é a versão apropriada de x deslocada. Com x[0]=3,\;x[1]=1,\;x[2]=3,\;x[3]=2 as 8 equações (uma para cada n=0,\dots,7) ficam:
Este sistema é (em notação matricial) Xh=y com X de dimensão 8\times5. Note que temos 8 equações para 5 incógnitas: o sistema é sobre-determinado e pode ser consistente (uma solução exata) ou inconsistente (nenhuma solução exata). Vou mostrar duas abordagens: (A) deconvolução direta usando as primeiras N_h equações (método direto); (B) ajuste pelo critério de mínimos quadrados (método adequado quando o sistema é inconsistente).]
Passo 3
Este método usa as primeiras N_h=5 equações (as que envolvem progressivamente mais incógnitas) e resolve por substituição direta. As equações n=0,\dots,4 são:
Esses valores estão muito longe dos y reais, ou seja: os h obtidos a partir das primeiras 5 equações NÃO satisfazem as equações restantes. Conclusão: os dados fornecidos x[n] e y[n] são inconsistentes com um h[n] FIR causal de comprimento 5 que satisfaça todas as 8 equações exatamente. Portanto NÃO existe uma solução exata decomposta com N_h=5 que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Passo 4
Quando o sistema Xh=y é sobre-determinado e inconsistente, a abordagem padrão é achar h que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos:
\min_h \|Xh-y\|_2^2.
A solução é dada pelas equações normais
X^T X\,h = X^T y.
Já calculamos explicitamente X^T X e X^T y (usando X conforme a matriz de convolução descrita no Passo 2). Os resultados são:
Resolvendo o sistema X^T X\,h = X^T y (eliminação de Gauss / decomposição Cholesky etc.) obtemos a solução de mínimos quadrados (apresento os valores arredondados a três casas decimais):
Este vetor minimiza \|Xh-y\|_2; substituindo em Xh gera uma aproximação de y com resíduos pequenos (mas não nulos), e é a melhor solução linear em sentido quadrático para o problema inconsistente dado.]
Passo 5
Sempre comece deduzindo N_h = N_y - N_x +1 e assumindo índices (normalmente n=0 para sequências listadas).
Método rápido na prova: se o sistema não é sobre-determinado (número de equações igual ao número de incógnitas), resolver por substituição direta (como no Passo 3) é o caminho mais rápido.
Se houver mais equações que incógnitas (como aqui), primeiro tente as primeiras N_h equações — se as últimas não baterem, os dados são inconsistentes e deve-se falar que não existe solução exata. Então, se for pedido um “melhor ajuste”, use as equações normais (método dos mínimos quadrados) ou pseudoinversa.
Para cálculos rápidos em prova, mantenha frações até o fim quando possível (evita erros de arredondamento), e cheque sempre as equações restantes para verificar consistência.