Convolução/deconvolução discreta: calcular y[n], x[n] ou h[n] segundo o caso (usar diferentes métodos):
y[n]=\{28,62,65,54,48,23,71,40\}
x[n]=\{3,1,3,2\}

Passo 1

O enunciado nos dá as duas sequências (assumirei a convenção natural: índices começando em n=0 e sequências causais):
y[n]=\{28,62,65,54,48,23,71,40\},\qquad x[n]=\{3,1,3,2\}.
O que está implícito é encontrar h[n] (ou seja, fazer a deconvolução) tal que
y[n]=x[n]*h[n].
Tamanhos:
N_x=4,\qquad N_y=8.
Para convolução linear discreta de duas sequências finitas vale N_y=N_x+N_h-1. Assim o comprimento necessário para h[n] é
N_h = N_y - N_x + 1 = 8-4+1 = 5.
Portanto procuramos h[n] com 5 amostras: \;h[0],h[1],h[2],h[3],h[4].

Passo 2

Relembrando a fórmula da convolução discreta (modo que usaremos, assumindo índices começando em 0 e sequências causais):
y[n]=\sum_{k=0}^{N_x-1} x[k]\,h[n-k],
onde h[\ell]=0 se \ell\notin\{0,\dots,N_h-1\} e x[k]=0 se k\notin\{0,\dots,N_x-1\}.
É mais prático montar o sistema linear em forma matricial Xh=y, onde h=(h[0],\dots,h[4])^T e cada linha de X é a versão apropriada de x deslocada. Com x[0]=3,\;x[1]=1,\;x[2]=3,\;x[3]=2 as 8 equações (uma para cada n=0,\dots,7) ficam:
\begin{array}{rcl} n=0:& & 3h[0] = y[0]=28,\\[4pt] n=1:& & 1h[0]+3h[1] = y[1]=62,\\[4pt] n=2:& & 3h[0]+1h[1]+3h[2] = y[2]=65,\\[4pt] n=3:& & 2h[0]+3h[1]+1h[2]+3h[3] = y[3]=54,\\[4pt] n=4:& & 0\cdot h[0]+2h[1]+3h[2]+1h[3]+3h[4] = y[4]=48,\\[4pt] n=5:& & 0\cdot h[0]+0\cdot h[1]+2h[2]+3h[3]+1h[4] = y[5]=23,\\[4pt] n=6:& & 0\cdot h[0]+0\cdot h[1]+0\cdot h[2]+2h[3]+3h[4] = y[6]=71,\\[4pt] n=7:& & 0\cdot h[0]+0\cdot h[1]+0\cdot h[2]+0\cdot h[3]+2h[4] = y[7]=40. \end{array}
Este sistema é (em notação matricial) Xh=y com X de dimensão 8\times5. Note que temos 8 equações para 5 incógnitas: o sistema é sobre-determinado e pode ser consistente (uma solução exata) ou inconsistente (nenhuma solução exata). Vou mostrar duas abordagens: (A) deconvolução direta usando as primeiras N_h equações (método direto); (B) ajuste pelo critério de mínimos quadrados (método adequado quando o sistema é inconsistente).]

Passo 3

Este método usa as primeiras N_h=5 equações (as que envolvem progressivamente mais incógnitas) e resolve por substituição direta. As equações n=0,\dots,4 são:
\begin{aligned} (0)\\ & 3h[0]=28,\\\ (1)\\ & 1h[0]+3h[1]=62,\\\ (2)\\ & 3h[0]+1h[1]+3h[2]=65,\\\ (3)\\ & 2h[0]+3h[1]+1h[2]+3h[3]=54,\\\ (4)\\ & 2h[1]+3h[2]+1h[3]+3h[4]=48. \end{aligned}
Vamos resolver passo a passo.
Da equação (0):
h[0]=\frac{28}{3}.
Substituindo em (1):
1\cdot\frac{28}{3}+3h[1]=62 \quad\Rightarrow\quad 3h[1]=62-\frac{28}{3}=\frac{158}{3} \quad\Rightarrow\quad h[1]=\frac{158}{9}.
Substituindo em (2):
3\cdot\frac{28}{3}+1\cdot\frac{158}{9}+3h[2]=65 \quad\Rightarrow\quad 28+\frac{158}{9}+3h[2]=65
3h[2]=65-28-\frac{158}{9}=\frac{175}{9} \quad\Rightarrow\quad h[2]=\frac{175}{27}.
Substituindo em (3):
2\cdot\frac{28}{3}+3\cdot\frac{158}{9}+1\cdot\frac{175}{27}+3h[3]=54.
Calculemos os termos (frações mantidas):
2\cdot\frac{28}{3}=\frac{56}{3},\qquad 3\cdot\frac{158}{9}=\frac{158}{3},\qquad \frac{175}{27}.
Somando e isolando 3h[3]:
3h[3]=54-\frac{56}{3}-\frac{158}{3}-\frac{175}{27} = \frac{1458}{27}-\frac{504}{27}-\frac{1422}{27}-\frac{175}{27} = \frac{-643}{27}.
Portanto
h[3]=-\frac{643}{81}.
Finalmente, em (4):
2\cdot\frac{158}{9}+3\cdot\frac{175}{27}+1\cdot\left(-\frac{643}{81}\right)+3h[4]=48.
Calculemos (colocando em denominador 243 ou procedendo passo-a-passo). Ao isolar 3h[4] obtém-se
3h[4]=48-\frac{316}{9}-\frac{175}{9}+\frac{643}{81} = \frac{112}{81}.
Logo
h[4]=\frac{112}{243}.
Resumo da solução direta (valores exatos):
\boxed{h_{\text{direta}}[n]=\left\{\frac{28}{3},\\ \frac{158}{9},\\ \frac{175}{27},\\\ -\frac{643}{81},\\ \frac{112}{243}\right\}.}
Em decimal (apenas para intuição):
h_{\text{direta}}\approx\{9{,}3333,\\\ 17{,}5556,\\\ 6{,}48148,\\\ -7{,}93827,\\\ 0{,}460905\}.
Agora é essencial verificar as demais equações (n=5,6,7). Substituindo estes h nas equações n=5,6,7 obtemos previsões:
\begin{aligned} \hat y[5] &= 1\cdot h[4]+3\cdot h[3]+2\cdot h[2]\approx -10{,}391, \quad(\text{mas }y[5]=23),\\\ \hat y[6] &= 2\cdot h[3]+3\cdot h[4]\approx -7{,}505, \quad(\text{mas }y[6]=71),\\\ \hat y[7] &= 2\cdot h[4]\approx 0{,}9218, \quad(\text{mas }y[7]=40). \end{aligned}
Esses valores estão muito longe dos y reais, ou seja: os h obtidos a partir das primeiras 5 equações NÃO satisfazem as equações restantes. Conclusão: os dados fornecidos x[n] e y[n] são inconsistentes com um h[n] FIR causal de comprimento 5 que satisfaça todas as 8 equações exatamente. Portanto NÃO existe uma solução exata decomposta com N_h=5 que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Passo 4

Quando o sistema Xh=y é sobre-determinado e inconsistente, a abordagem padrão é achar h que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos:
\min_h \|Xh-y\|_2^2.
A solução é dada pelas equações normais
X^T X\,h = X^T y.
Já calculamos explicitamente X^T X e X^T y (usando X conforme a matriz de convolução descrita no Passo 2). Os resultados são:
X^T X = \begin{pmatrix} 23 & 12 & 11 & 6 & 0\\[2pt] 12 & 23 & 12 & 11 & 6\\[2pt] 11 & 12 & 23 & 12 & 11\\[2pt] 6 & 11 & 12 & 23 & 12\\[2pt] 0 & 6 & 11 & 12 & 23 \end{pmatrix}, \qquad X^T y = \begin{pmatrix} 449\\[2pt] 509\\[2pt] 439\\[2pt] 421\\[2pt] 460 \end{pmatrix}.
Resolvendo o sistema X^T X\,h = X^T y (eliminação de Gauss / decomposição Cholesky etc.) obtemos a solução de mínimos quadrados (apresento os valores arredondados a três casas decimais):
\boxed{h_{\text{LS}}[n]\approx\{15{,}088,\;10{,}309,\;-2{,}874,\;1{,}640,\;17{,}830\}.}
Este vetor minimiza \|Xh-y\|_2; substituindo em Xh gera uma aproximação de y com resíduos pequenos (mas não nulos), e é a melhor solução linear em sentido quadrático para o problema inconsistente dado.]

Passo 5

  • Sempre comece deduzindo N_h = N_y - N_x +1 e assumindo índices (normalmente n=0 para sequências listadas).
  • Método rápido na prova: se o sistema não é sobre-determinado (número de equações igual ao número de incógnitas), resolver por substituição direta (como no Passo 3) é o caminho mais rápido.
  • Se houver mais equações que incógnitas (como aqui), primeiro tente as primeiras N_h equações — se as últimas não baterem, os dados são inconsistentes e deve-se falar que não existe solução exata. Então, se for pedido um “melhor ajuste”, use as equações normais (método dos mínimos quadrados) ou pseudoinversa.
  • Para cálculos rápidos em prova, mantenha frações até o fim quando possível (evita erros de arredondamento), e cheque sempre as equações restantes para verificar consistência.

Resposta

h_{\text{direta}}[n]=\displaystyle\left\{\frac{28}{3},\\ \frac{158}{9},\\ \frac{175}{27},\\\ -\frac{643}{81},\\ \frac{112}{243}\right\}
h_{\text{LS}}[n]\approx\{15{,}088,\;10{,}309,\;-2{,}874,\;1{,}640,\;17{,}830\}

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