Convolução/deconvolução discreta: calcular
ou
segundo o caso (usar diferentes métodos):
Passo 1
O enunciado dá duas sequências discretas (assumo que começaram em
; isto é, o primeiro elemento é
) e pede o resultado da convolução entre elas:
-
. Ou seja, -
. Ou seja,
O que se pede (implicitamente) é calcular a saída
dada pela convolução discreta
Informações relevantes:
- O comprimento (número de amostras) de
é . - O comprimento de
é . - A convolução linear resultante terá comprimento
. Então terá valores, para .
Passo 2
Fórmula e ideia básica da convolução discreta (aula curta e direta).
A definição (forma direta) da convolução linear entre duas sequências causais
e
é
Aqui:
-
é a variável de soma (índice de somação). -
e são os termos das duas sequências que “se sobrepõem” quando uma desliza sobre a outra.
Na prática, comoe são finitas e assumimos zeros fora do suporte, o somatório fica limitado aos índices em que ambas têm valores não nulos.
Uma forma prática para sequências com suporte a partir de
é:
considerando
se
ou
. Vou usar essa forma para calcular cada
.
Passo 3
Método 1 — cálculo direto termo a termo (método clássico, ótimo na prova para vetores curtos).
Vou calcular
para
a
. Em cada soma, só entram termos com índices válidos de
e
.
Cálculo de cada termo (mostrando passo a passo as somas):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Assim, pelo método direto, obtemos a sequência:
Passo 4
Método 2 — verificação por multiplicação polinomial (forma alternativa, útil para conferir resultados e muito prática em provas se souber usar).
Interpreta-se cada sequência como um polinômio em
(ou em uma variável
). Defino:
A convolução no tempo corresponde ao produto desses polinômios:
e os coeficientes de
(em potências de
) são exatamente os valores
.
Escrevendo os polinômios com os coeficientes:
Multiplicando termo a termo (organizando por potências de
) e somando contribuições para cada potência produz exatamente os mesmos coeficientes que calculei no método direto. Por exemplo, o coeficiente de
(potência
) vem só de
; o coeficiente de
vem de
; e assim por diante. Esse procedimento confirma o resultado do método direto.
Passo 5
Dicas rápidas para a prova (curtas, práticas e encorajadoras):
- Sempre identifique os índices iniciais (aqui assumi
); se a sequência começar em outro índice, ajuste os limites da soma. - Para vetores pequenos, o método direto termo a termo é rápido e seguro.
- Se precisar verificar, use a ideia polinomial (produto de polinômios) ou desenhe a soma tipo “sliding” (deslizar
sobre e somar produtos). - Você está indo bem: faça cada soma com calma e confira sinais (os negativos são as armadilhas mais comuns).