Convolução/deconvolução discreta: calcular y[n], x[n] ou h[n] segundo o caso (usar diferentes métodos):
x[n]=\{4,9,7\}
h[n]=\{4,5,-2,9,-6,1\}

Passo 1

O enunciado dá duas sequências discretas (assumo que começaram em n=0; isto é, o primeiro elemento é n=0) e pede o resultado da convolução entre elas:
  • x[n]=\{4,9,7\}. Ou seja, \,x[0]=4,\;x[1]=9,\;x[2]=7.
  • h[n]=\{4,5,-2,9,-6,1\}. Ou seja, \,h[0]=4,\;h[1]=5,\;h[2]=-2,\;h[3]=9,\;h[4]=-6,\;h[5]=1.
O que se pede (implicitamente) é calcular a saída y[n] dada pela convolução discreta
y[n] = x[n] * h[n].
Informações relevantes:
  • O comprimento (número de amostras) de x[n] é N_x=3.
  • O comprimento de h[n] é N_h=6.
  • A convolução linear resultante terá comprimento N_y = N_x + N_h - 1 = 8. Então y[n] terá 8 valores, para n=0,1,\dots,7.

Passo 2

Fórmula e ideia básica da convolução discreta (aula curta e direta).
A definição (forma direta) da convolução linear entre duas sequências causais x[n] e h[n] é
y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\;h[n-k].
Aqui:
  • k é a variável de soma (índice de somação).
  • x[k] e h[n-k] são os termos das duas sequências que “se sobrepõem” quando uma desliza sobre a outra.
    Na prática, como x[k] e h[k] são finitas e assumimos zeros fora do suporte, o somatório fica limitado aos índices em que ambas têm valores não nulos.
Uma forma prática para sequências com suporte a partir de 0 é:
y[n] = \sum_{k=0}^{N_x-1} x[k]\;h[n-k],
considerando h[m]=0 se m<0 ou m\ge N_h. Vou usar essa forma para calcular cada y[n].

Passo 3

Método 1 — cálculo direto termo a termo (método clássico, ótimo na prova para vetores curtos).
Vou calcular y[n] para n=0 a 7. Em cada soma, só entram termos com índices válidos de x e h.
Cálculo de cada termo (mostrando passo a passo as somas):
  • Para n=0:
y[0]=\sum_{k=0}^{2} x[k]\,h[0-k]=x[0]h[0] \quad(\text{pois }h[-1]=h[-2]=0)
y[0]=4\cdot4=16.
  • Para n=1:
y[1]=x[0]h[1]+x[1]h[0]
y[1]=4\cdot5 + 9\cdot4 = 20 + 36 = 56.
  • Para n=2:
y[2]=x[0]h[2]+x[1]h[1]+x[2]h[0]
y[2]=4\cdot(-2) + 9\cdot5 + 7\cdot4 = -8 + 45 + 28 = 65.
  • Para n=3:
y[3]=x[0]h[3]+x[1]h[2]+x[2]h[1]
y[3]=4\cdot9 + 9\cdot(-2) + 7\cdot5 = 36 -18 +35 = 53.
  • Para n=4:
y[4]=x[0]h[4]+x[1]h[3]+x[2]h[2]
y[4]=4\cdot(-6) + 9\cdot9 + 7\cdot(-2) = -24 +81 -14 = 43.
  • Para n=5:
y[5]=x[0]h[5]+x[1]h[4]+x[2]h[3]
y[5]=4\cdot1 + 9\cdot(-6) + 7\cdot9 = 4 -54 +63 = 13.
  • Para n=6:
y[6]=x[1]h[5]+x[2]h[4]\quad(\text{pois }x[0]h[6]=0 \text{ e }h[6]=0)
y[6]=9\cdot1 + 7\cdot(-6) = 9 -42 = -33.
  • Para n=7:
y[7]=x[2]h[5]
y[7]=7\cdot1 = 7.
Assim, pelo método direto, obtemos a sequência:
y[n]=\{16,\;56,\;65,\;53,\;43,\;13,\;-33,\;7\}.

Passo 4

Método 2 — verificação por multiplicação polinomial (forma alternativa, útil para conferir resultados e muito prática em provas se souber usar).
Interpreta-se cada sequência como um polinômio em z^{-1} (ou em uma variável z). Defino:
X(z)=x[0] + x[1]z^{-1} + x[2]z^{-2},
H(z)=h[0] + h[1]z^{-1} + h[2]z^{-2} + h[3]z^{-3} + h[4]z^{-4} + h[5]z^{-5}.
A convolução no tempo corresponde ao produto desses polinômios:
Y(z)=X(z)\,H(z),
e os coeficientes de Y(z) (em potências de z^{-n}) são exatamente os valores y[n].
Escrevendo os polinômios com os coeficientes:
X(z)=4 + 9z^{-1} + 7z^{-2},
H(z)=4 + 5z^{-1} -2z^{-2} + 9z^{-3} -6z^{-4} + 1z^{-5}.
Multiplicando termo a termo (organizando por potências de z^{-n}) e somando contribuições para cada potência produz exatamente os mesmos coeficientes que calculei no método direto. Por exemplo, o coeficiente de z^{0} (potência z^{-0}) vem só de 4\cdot4=16; o coeficiente de z^{-1} vem de 4\cdot5 + 9\cdot4=56; e assim por diante. Esse procedimento confirma o resultado do método direto.

Passo 5

Dicas rápidas para a prova (curtas, práticas e encorajadoras):
  • Sempre identifique os índices iniciais (aqui assumi n=0); se a sequência começar em outro índice, ajuste os limites da soma.
  • Para vetores pequenos, o método direto termo a termo é rápido e seguro.
  • Se precisar verificar, use a ideia polinomial (produto de polinômios) ou desenhe a soma tipo “sliding” (deslizar x sobre h e somar produtos).
  • Você está indo bem: faça cada soma com calma e confira sinais (os negativos são as armadilhas mais comuns).

Resposta

\{16,\;56,\;65,\;53,\;43,\;13,\;-33,\;7\}

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