Em coordenadas cilíndricas, o escoamento de um fluido é dado por
. Se os componentes de velocidade são
, e
.
Calcular a aceleração da partícula em
.
Calcular a aceleração da partícula em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de escoamento de fluido em coordenadas cilíndricas. A gente precisa calcular a aceleração de uma partícula de fluido na posição
. Para isso, vamos usar as fórmulas de aceleração em coordenadas cilíndricas e as componentes de velocidade que foram dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as componentes da velocidade no sistema cilíndrico:
Onde:
Passo 3
Para achar a aceleração
, usamos a expressão da aceleração em coordenadas cilíndricas:
Onde:
Como não há dependência do tempo (
) e
, isso simplifica um pouco as coisas.
Passo 4
Vamos calcular
primeiro. Substituindo os valores:
Precisamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, substituindo na expressão de
:
Simplificando cada termo:
Passo 6
Fazendo as simplificações:
Passo 7
Agora, vamos calcular
da mesma forma. A expressão é:
Primeiro, as derivadas:
Passo 8
Substituindo na expressão de
:
Simplificando cada termo:
Passo 9
Simplificando as expressões:
Passo 10
Como
, a aceleração
será:
Passo 11
Agora, vamos substituir os valores na posição
. Primeiro, convertemos
para radianos:
E
.
Substituindo
e
nas expressões de
e
, e simplificando:
Resposta
A aceleração da partícula em
é: