Em coordenadas cilíndricas, o escoamento de um fluido é dado por u=(ur, utheta, uz). Se os componentes de velocidade são ur=(1-4r^2) cos theta, utheta=-(1+4r^2) sin theta, e uz=0 em m / s.
Calcular a aceleração da partícula em x=(1 m, 225^circ, 2 m).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de escoamento de fluido em coordenadas cilíndricas. A gente precisa calcular a aceleração de uma partícula de fluido na posição x = (1 , m, 225^circ, 2 , m). Para isso, vamos usar as fórmulas de aceleração em coordenadas cilíndricas e as componentes de velocidade que foram dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as componentes da velocidade no sistema cilíndrico:
u = (ur, utheta, uz)
Onde:
ur = (1 - 4r^2) cos theta
utheta = -(1 + 4r^2) sin theta
uz = 0 , m/s

Passo 3

Para achar a aceleração a, usamos a expressão da aceleração em coordenadas cilíndricas:
a = ( ar, atheta, az )
Onde:
ar = partial urpartial t + ur partial urpartial r + uthetar partial urpartial theta - utheta^2r
atheta = partial uthetapartial t + ur partial uthetapartial r + uthetar partial uthetapartial theta + ur uthetar
az = partial uzpartial t + ur partial uzpartial r + uthetar partial uzpartial theta
Como não há dependência do tempo ( partial/partial t = 0) e uz = 0, isso simplifica um pouco as coisas.

Passo 4

Vamos calcular ar primeiro. Substituindo os valores:
ar = ur partial urpartial r + uthetar partial urpartial theta - utheta^2r
Precisamos calcular as derivadas parciais:
partial urpartial r = partialpartial r ( (1 - 4r^2) cos theta ) = ( 8r^3 ) cos theta
partial urpartial theta = partialpartial theta ( (1 - 4r^2) cos theta ) = -(1 - 4r^2) sin theta

Passo 5

Agora, substituindo na expressão de ar:
ar = (1 - 4r^2) cos theta cdot 8r^3 cos theta + -(1 + 4r^2) sin thetar cdot (-(1 - 4r^2) sin theta ) - (-(1 + 4r^2) sin theta )^2r
Simplificando cada termo:
ar = (1 - 4r^2) 8r^3 cos^2 theta + (1 + 4r^2) (1 - 4r^2) sin^2 thetar - (1 + 4r^2)^2 sin^2 thetar

Passo 6

Fazendo as simplificações:
ar = 8r^3 (1 - 4r^2) cos^2 theta + (1 - (4r^2)^2 ) sin^2 thetar - (1 + 8r^2 + 16r^4) sin^2 thetar

Passo 7

Agora, vamos calcular atheta da mesma forma. A expressão é:
atheta = ur partial uthetapartial r + uthetar partial uthetapartial theta + ur uthetar
Primeiro, as derivadas:
partial uthetapartial r = partialpartial r ( -(1 + 4r^2) sin theta ) = 8r^3 sin theta
partial uthetapartial theta = partialpartial theta ( -(1 + 4r^2) sin theta ) = -(1 + 4r^2) cos theta

Passo 8

Substituindo na expressão de atheta:
atheta = (1 - 4r^2) cos theta cdot 8r^3 sin theta + -(1 + 4r^2) sin thetar cdot (-(1 + 4r^2) cos theta ) + (1 - 4r^2) cos theta cdot (-(1 + 4r^2) sin theta )r
Simplificando cada termo:
atheta = 8r^3 (1 - 4r^2) sin theta cos theta + (1 + 4r^2)^2 sin theta cos thetar - (1 - 4r^2) (1 + 4r^2) sin theta cos thetar

Passo 9

Simplificando as expressões:
atheta = 8r^3 (1 - 4r^2) sin theta cos theta + (1 + 8r^2 + 16r^4) sin theta cos thetar - (1 - 16r^4) sin theta cos thetar

Passo 10

Como uz=0, a aceleração az será:
az = 0

Passo 11

Agora, vamos substituir os valores na posição x = (1 , m, 225^circ, 2 , m). Primeiro, convertemos 225^circ para radianos:
225^circ = 5pi4 , rad
E r = 1 , m.
Substituindo r = 1 e theta = 5pi4 nas expressões de ar e atheta, e simplificando:
ar = 81^3 (1 - 41^2) cos^2(5pi4) + (outros termos que se cancelam)
ar = 8 times (-3) times (-raiz22)^2 = 8 times (-3) times 12 = -12
atheta = 81^3 (1 - 41^2) sin(5pi4) cos(5pi4) + (outros termos que se cancelam)
atheta = 8 times (-3) times (-raiz22) (-raiz22) = 8 times (-3) times 12 = -12

Resposta

A aceleração da partícula em x = (1 , m, 225^circ, 2 , m) é:
a = (-12 , m/s^2, -12 , m/s^2, 0 , m/s^2)

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