Se ui representa um campo solenoidal e se o rotacional de ui é paralelo a ui de forma que varepsiloni j m partial umpartial xj=k ui, onde k é uma constante, mostre que partial^2 uipartial xj^2+k^2 ui=0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um campo vetorial $ u_i $ que é solenoidal, ou seja, sua divergência é zero. Além disso, o rotacional de $ u_i $ é paralelo a $ u_i $ e é dado por $ \varepsilon_{i j m} \frac{\partial u_{m}}{\partial x_{j}} = k u_{i} $, onde $ k $ é uma constante. Nosso objetivo é mostrar que:
ui
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como divergência, rotacional e o uso de identidades envolvendo essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que significa que $ u_i $ é um campo solenoidal. Isso quer dizer que a divergência de $ u $ é zero:
ui
Isso é importante porque simplifica muitas operações futuras.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a equação dada:
varepsiloni j m partial umpartial xj = k ui
Essa equação nos diz que o rotacional de $ u $ é proporcional a $ u $ mesmo, com a constante $ k $ como fator de proporcionalidade.

Passo 4

Vamos aplicar o operador rotacional novamente na equação original. Ou seja, vamos calcular o rotacional do rotacional de $ u $:
u
Simplificando o lado direito:
varepsiloni j n partialpartial xj ( varepsilonn m p partial uppartial xm ) = varepsiloni j n partialpartial xj (k un)
Mas sabemos pela equação original que $ \varepsilon_{i j n} \frac{\partial u_n}{\partial x_j} = k u_i $, então:
k varepsiloni j n partial unpartial xj

Passo 5

Agora, vamos usar a identidade vetorial para o rotacional do rotacional:
rot(rot(u)) = nabla(div(u)) - nabla^2 u
Como $ u $ é solenoidal, $ div(u) = 0 $, então:
u
Comparando com o que obtivemos no Passo 4:
div(u) = 0
Multiplicando ambos os lados por -1:
rot(rot(u)) = - nabla^2 u

Passo 6

Finalmente, expressando a equação em notação indexada, temos:
partial^2 uipartial xj^2 + k^2 ui = 0

Resposta

partial^2 uipartial xj^2 + k^2 ui = 0

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