Se
representa um campo solenoidal e se o rotacional de
é paralelo a
de forma que
, onde
é uma constante, mostre que
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um campo vetorial $ u_i $ que é solenoidal, ou seja, sua divergência é zero. Além disso, o rotacional de $ u_i $ é paralelo a $ u_i $ e é dado por $ \varepsilon_{i j m} \frac{\partial u_{m}}{\partial x_{j}} = k u_{i} $, onde $ k $ é uma constante. Nosso objetivo é mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como divergência, rotacional e o uso de identidades envolvendo essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que significa que $ u_i $ é um campo solenoidal. Isso quer dizer que a divergência de $ u $ é zero:
Isso é importante porque simplifica muitas operações futuras.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a equação dada:
Essa equação nos diz que o rotacional de $ u $ é proporcional a $ u $ mesmo, com a constante $ k $ como fator de proporcionalidade.
Passo 4
Vamos aplicar o operador rotacional novamente na equação original. Ou seja, vamos calcular o rotacional do rotacional de $ u $:
Simplificando o lado direito:
Mas sabemos pela equação original que $ \varepsilon_{i j n} \frac{\partial u_n}{\partial x_j} = k u_i $, então:
Passo 5
Agora, vamos usar a identidade vetorial para o rotacional do rotacional:
Como $ u $ é solenoidal, $ div(u) = 0 $, então:
Comparando com o que obtivemos no Passo 4:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Passo 6
Finalmente, expressando a equação em notação indexada, temos: