Em coordenadas cilíndricas, o escoamento de um fluido é dado por u=(ur, utheta, uz). Se os componentes de velocidade são ur=(2-8r^2) cos theta, utheta=-(2+8r^2) sin theta, e uz=0 em m / s.
Calcular a aceleração da partícula em x=(2 m, 45^circ, 4 m).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fluxo de fluido descrito em coordenadas cilíndricas com componentes de velocidade dadas por:
ur = (2 - 8r^2) cos theta, utheta = -(2 + 8r^2) sin theta, uz = 0 , m/s
Nosso objetivo é calcular a aceleração da partícula na posição x = (2 , m, 45^circ, 4 , m). Para isso, vamos usar o conceito de derivada material na mecânica de fluidos, que nos dá a aceleração a em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a aceleração em coordenadas cilíndricas é dada por:
a = ( ur partial urpartial r + uthetar partial urpartial theta - utheta^2r ) er + ( ur partial uthetapartial r + uthetar partial uthetapartial theta + ur uthetar ) etheta + ( ur partial uzpartial r + uthetar partial uzpartial theta ) ez
Como uz = 0, as derivadas que envolvem uz serão zero, simplificando a equação.

Passo 3

Vamos calcular cada componente da aceleração separadamente. Primeiro, a componente radial er:
ar = ur partial urpartial r + uthetar partial urpartial theta - utheta^2r
Precisamos calcular as derivadas parciais de ur em relação a r e theta.

Passo 4

Calculando partial urpartial r:
ur = (2 - 8r^2) cos theta partial urpartial r = (0 + 16r^3) cos theta = 16 cos thetar^3
E partial urpartial theta:
partial urpartial theta = -(2 - 8r^2) sin theta

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na expressão de ar:
ar = (2 - 8r^2) cos theta cdot 16 cos thetar^3 + -(2 + 8r^2) sin thetar cdot (-(2 - 8r^2) sin theta) - (-(2 + 8r^2) sin theta)^2r

Passo 6

Simplificando os termos:
ar = (2 - 8r^2) 16 cos^2 thetar^3 + (2 + 8r^2)(2 - 8r^2) sin^2 thetar - (2 + 8r^2)^2 sin^2 thetar
Vamos calcular agora a componente etheta.

Passo 7

A componente angular atheta é:
atheta = ur partial uthetapartial r + uthetar partial uthetapartial theta + ur uthetar
Primeiro, calculamos as derivadas de utheta.

Passo 8

Calculando partial uthetapartial r:
utheta = -(2 + 8r^2) sin theta partial uthetapartial r = -(0 - 16r^3) sin theta = 16 sin thetar^3
E partial uthetapartial theta:
partial uthetapartial theta = -(2 + 8r^2) cos theta

Passo 9

Substituindo na expressão de atheta:
atheta = (2 - 8r^2) cos theta cdot 16 sin thetar^3 + -(2 + 8r^2) sin thetar cdot (-(2 + 8r^2) cos theta) + (2 - 8r^2) cos theta cdot (-(2 + 8r^2) sin theta)r

Passo 10

Agora, vamos avaliar todas as expressões na posição x = (2 , m, 45^circ, 4 , m), ou seja, r = 2 m e theta = 45^circ. Lembre-se que cos 45^circ = sin 45^circ = raiz22.

Passo 11

Substituindo r = 2 e theta = 45^circ nas expressões:
Para ar:
ar = (2 - 84) 16 (raiz22)^28 + (2 + 84)(2 - 84) (raiz22)^22 - (2 + 84)^2 (raiz22)^22
Calculando cada parte:
2 - 84 = 0, 2 + 84 = 4, (raiz22)^2 = 12
Portanto:
ar = 0 + 4 cdot 0 cdot 122 - 16 cdot 122 = -4 , m/s^2
Para atheta:
atheta = 0 cdot 16 cdot raiz228 + -4 cdot raiz222 + 0 cdot (-4) cdot raiz222 = -4 cdot raiz222 = -raiz2 , m/s^2

Resposta

A aceleração da partícula na posição x = (2 , m, 45^circ, 4 , m) é:
a = -4 , er - raiz2 , etheta m/s^2

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