Em coordenadas cilíndricas, o escoamento de um fluido é dado por
. Se os componentes de velocidade são
, e
.
Calcular a aceleração da partícula em
.
Calcular a aceleração da partícula em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fluxo de fluido descrito em coordenadas cilíndricas com componentes de velocidade dadas por:
Nosso objetivo é calcular a aceleração da partícula na posição
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada material na mecânica de fluidos, que nos dá a aceleração
em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a aceleração em coordenadas cilíndricas é dada por:
Como
, as derivadas que envolvem
serão zero, simplificando a equação.
Passo 3
Vamos calcular cada componente da aceleração separadamente. Primeiro, a componente radial
:
Precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 4
Calculando
:
E
:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na expressão de
:
Passo 6
Simplificando os termos:
Vamos calcular agora a componente
.
Passo 7
A componente angular
é:
Primeiro, calculamos as derivadas de
.
Passo 8
Calculando
:
E
:
Passo 9
Substituindo na expressão de
:
Passo 10
Agora, vamos avaliar todas as expressões na posição
, ou seja,
m e
. Lembre-se que
.
Passo 11
Substituindo
e
nas expressões:
Para
:
Calculando cada parte:
Portanto:
Para
:
Resposta
A aceleração da partícula na posição
é: