Para a tensăo V(t)=30 \mathrm{sen}\left(3 t+40^{\circ}\right) V, determine o tempo em que a tensăo é máxima (positiva e negativa) e as duas passagens por zero.

Passo 1

O enunciado dá a tensão
V(t)=30\operatorname{sen}\!\left(3t+40^\circ\right)\\ \text{V}
e pede: o tempo em que a tensão é máxima positiva, o tempo em que a tensão é máxima negativa e as duas passagens por zero. Informações relevantes que extraí do enunciado: a amplitude é \,30 V, a fase inicial é \,40^\circ e o argumento do seno é \,3t+40^\circ. Vou considerar que o ângulo está em graus (o enunciado usa o símbolo {}^\circ), logo a constante 3 tem unidade ^\circ/\mathrm{s} e o tempo t está em segundos. Vou procurar os primeiros instantes t\ge 0 em que ocorrem esses eventos.

Passo 2

Lembrete importante sobre a função seno (mini-aula rápida e prática):
  • A função \operatorname{sen}(\theta) atinge o valor máximo +1 quando \theta=90^\circ+360^\circ k, com k\in\mathbb{Z}.
  • A função \operatorname{sen}(\theta) atinge o valor mínimo -1 quando \theta=270^\circ+360^\circ k.
  • A função \operatorname{sen}(\theta) passa por zero quando \theta=0^\circ+180^\circ k.
Aqui \theta é o argumento dentro do seno. No nosso problema \theta=3t+40^\circ. Para encontrar tempos, basta resolver as equações acima para t. Explico por que: o seno tem período 360^\circ (em graus) — então as condições acima repetem-se a cada 360^\circ. Cada condição dá uma equação linear em t do tipo 3t+40^\circ= (ângulo desejado), que resolvemos isolando t.

Passo 3

Tempo em que a tensão é máxima positiva ( \operatorname{sen}=+1).
Condição:
3t+40^\circ=90^\circ+360^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isolando t:
3t=90^\circ-40^\circ+360^\circ k=50^\circ+360^\circ k,
t=\frac{50^\circ+360^\circ k}{3}\\ \mathrm{s}.
Para obter o primeiro instante não negativo escolhemos k=0:
t=\frac{50}{3}\\ \mathrm{s}\approx 16{,}666\ldots\\ \mathrm{s}.
(Para k=-1 obteríamos tempo negativo; para k=1 viria o próximo máximo positivo em \frac{410}{3}\\ \mathrm{s}.)

Passo 4

Tempo em que a tensão é máxima negativa ( \operatorname{sen}=-1).
Condição:
3t+40^\circ=270^\circ+360^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isolando t:
3t=270^\circ-40^\circ+360^\circ k=230^\circ+360^\circ k,
t=\frac{230^\circ+360^\circ k}{3}\\ \mathrm{s}.
Para o primeiro instante não negativo escolhemos k=0:
t=\frac{230}{3}\\ \mathrm{s}\approx 76{,}666\ldots\\ \mathrm{s}.
(Com k=-1 daria tempo negativo; com k=1 o próximo mínimo em \frac{590}{3}\\ \mathrm{s}.)

Passo 5

Passagens por zero ( \operatorname{sen}=0). Condição geral:
3t+40^\circ=0^\circ+180^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isolando t:
3t=-40^\circ+180^\circ k,
t=\frac{-40^\circ+180^\circ k}{3}\\ \mathrm{s}.
Queremos as duas passagens por zero com t\ge 0. Testando valores de k:
  • Para k=0: t=\dfrac{-40}{3}\\ \mathrm{s} (negativo) — descartamos.
  • Para k=1: t=\dfrac{140}{3}\\ \mathrm{s}\approx 46{,}666\ldots\\ \mathrm{s}.
  • Para k=2: t=\dfrac{320}{3}\\ \mathrm{s}\approx 106{,}666\ldots\\ \mathrm{s}.
Portanto as duas primeiras passagens por zero não negativas são t=\dfrac{140}{3}\\ \mathrm{s} e t=\dfrac{320}{3}\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Verificação rápida com o período: como o coeficiente angular é 3^\circ/\mathrm{s}, o período é
T=\frac{360^\circ}{3^\circ/\mathrm{s}}=120\\ \mathrm{s}.
Verificamos que os eventos calculados repetem-se a cada 120\\ \mathrm{s}: por exemplo, o máximo positivo em \tfrac{50}{3} e o próximo em \tfrac{50}{3}+120=\tfrac{410}{3}, etc. Assim as soluções estão coerentes.

Resposta

Tempo do máximo positivo: \displaystyle t=\frac{50}{3}\\ \mathrm{s}\approx 16{,}666\\ \mathrm{s}
Tempo do máximo negativo: \displaystyle t=\frac{230}{3}\\ \mathrm{s}\approx 76{,}666\\ \mathrm{s}
Duas passagens por zero: \displaystyle t=\frac{140}{3}\\ \mathrm{s}\approx 46{,}666\\ \mathrm{s}
\displaystyle t=\frac{320}{3}\\ \mathrm{s}\approx 106{,}666\\ \mathrm{s}

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