Em coordenadas esféricas, \rho=4 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3} para 0 \leq r \leq 2 \mathrm{~mm}, \rho=32 \times 10^{-15} r^{-3} \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3} para 2 \leq r \leq 4 \mathrm{~mm} e \rho=0 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3} para 4 \leq r \leq \infty mm. Obtenha uma expressão para \mathbf{D}.

Passo 1

O enunciado dá uma densidade volumétrica de carga radialmente simétrica (em coordenadas esféricas) definida por partes em função de r. Precisamos encontrar o campo deslocamento elétrico \mathbf{D}. Dados fornecidos (notar que as distâncias vêm em mm, devemos trabalhar em metros nas contas):
\begin{aligned} \rho(r)&=4\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^3\quad\text{para }0\le r\le 2\\ \mathrm{mm},\\[4pt] \rho(r)&=32\times10^{-15}\,r^{-3}\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^3\quad\text{para }2\le r\le 4\\ \mathrm{mm},\\[4pt] \rho(r)&=0\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^3\quad\text{para }4\le r<\infty. \end{aligned}
Pergunta: obter uma expressão para \mathbf{D}(r) em toda a região. Observações importantes que usarei nas contas:
  • Vou converter os mm para metros: 2\\ \mathrm{mm}=2\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e 4\\ \mathrm{mm}=4\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Também converto \mu\mathrm{C} para coulombs: 1\\ \mu\mathrm{C}=10^{-6}\\ \mathrm{C}.
    A resolução começa no próximo passo.]

Passo 2

Qual princípio usar e por quê. O campo \mathbf{D} satisfaz a forma integral da lei de Gauss (equivalente à forma diferencial \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho):
\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{enc}},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total contida dentro da superfície fechada S. Pela simetria esférica da densidade (depende só de r), \mathbf{D} será radial e só depende de r:
\mathbf{D}(r)=D_r(r)\,\hat{r}.
Escolhemos como superfície Gaussiana uma esfera de raio r. Para essa esfera a área total é 4\pi r^2 e \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=D_r(r)\,dA. Assim
D_r(r)\,4\pi r^2=Q_{\text{enc}}(r).
Portanto a tarefa reduz-se a calcular Q_{\text{enc}}(r)=\displaystyle\int_{V(r)}\rho(r')\,dV e dividir por 4\pi r^2. O volume em coordenadas esféricas para integrar densidade radial é dV=4\pi r'^2 dr'. Vou fazer isso peça a peça, tomando cuidado com as conversões de unidades.

Passo 3

Região 1: 0\le r\le 2\\ \mathrm{mm} (ou 0\le r\le 2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}).
Aqui \rho=4\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^3=4\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^3.
O carregamento contido em uma esfera de raio r (com r menor que 2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}) é
\begin{aligned} Q_{\text{enc}}(r)&=4\pi\int_{0}^{r}\rho\,r'^{2}\,dr' =4\pi\int_{0}^{r}4\times10^{-6}\,r'^{2}\,dr'\\[4pt] &=4\pi\cdot 4\times10^{-6}\cdot\frac{r^{3}}{3} =\frac{16\pi}{3}\times10^{-6}\,r^{3}. \end{aligned}
Agora usamos D_r(r)=Q_{\text{enc}}/(4\pi r^{2}):
\begin{aligned} D_r(r)&=\frac{\dfrac{16\pi}{3}\times10^{-6}\,r^{3}}{4\pi r^{2}} =\frac{16\pi}{3}\times10^{-6}\cdot\frac{r}{4\pi} =\frac{4}{3}\times10^{-6}\,r. \end{aligned}
Portanto, para 0\le r\le 2\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
\mathbf{D}(r)=\left(\frac{4}{3}\times10^{-6}\,r\right)\hat{r}.
Breve comentário didático: a dependência linear em r vem porque a carga dentro cresce como r^{3} (volume) e dividir por r^{2} r.]

Passo 4

Região 2: 2\\ \mathrm{mm}\le r\le 4\\ \mathrm{mm} (ou 2\times10^{-3}\le r\le 4\times10^{-3}\\ \mathrm{m}).
Aqui a densidade é \rho(r)=32\times10^{-15}\,r^{-3}\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}. Primeiro converto o fator \mu\mathrm{C} para C:
32\times10^{-15}\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}=32\times10^{-15}\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3} =32\times10^{-21}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.
Para um raio r nessa faixa, a carga encerrada é a soma da carga total da região interna (0 até 2\times10^{-3}) mais a carga entre 2\times10^{-3} e r:
\begin{aligned} Q_{\text{enc}}(r)&=Q_{0\to2\mathrm{mm}}+4\pi\int_{2\times10^{-3}}^{r}\rho(r')\,r'^{2}\,dr'. \end{aligned}
Já calculamos a parte interna (avaliando a expressão do Passo 3 em r=2\times10^{-3}):
\begin{aligned} Q_{0\to2\mathrm{mm}}&=\frac{16\pi}{3}\times10^{-6}\,(2\times10^{-3})^{3} =\frac{128\pi}{3}\times10^{-15}\\ \mathrm{C}. \end{aligned}
Agora a integral da casca:
\begin{aligned} 4\pi\int_{2\times10^{-3}}^{r}32\times10^{-21}\,r'^{-3}\,r'^{2}\,dr' &=4\pi\cdot32\times10^{-21}\int_{2\times10^{-3}}^{r}\frac{1}{r'}\,dr'\\[4pt] &=128\pi\times10^{-21}\left[\ln r'\right]_{2\times10^{-3}}^{r}\\[4pt] &=128\pi\times10^{-21}\ln\!\left(\frac{r}{2\times10^{-3}}\right). \end{aligned}
Somando:
Q_{\text{enc}}(r)=\frac{128\pi}{3}\times10^{-15}+128\pi\times10^{-21}\ln\!\left(\frac{r}{2\times10^{-3}}\right).
Dividindo por 4\pi r^{2} para obter D_r:
\begin{aligned} D_r(r)&=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{4\pi r^{2}} =\frac{\dfrac{128\pi}{3}\times10^{-15}}{4\pi r^{2}} +\frac{128\pi\times10^{-21}}{4\pi r^{2}}\ln\!\left(\frac{r}{2\times10^{-3}}\right)\\[6pt] &=\frac{32}{3}\times10^{-15}\frac{1}{r^{2}} +32\times10^{-21}\frac{\ln\!\left(\dfrac{r}{2\times10^{-3}}\right)}{r^{2}}. \end{aligned}
Portanto, para 2\times10^{-3}\le r\le 4\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
\mathbf{D}(r)=\left(\frac{32}{3}\times10^{-15}\frac{1}{r^{2}}+32\times10^{-21}\frac{\ln\!\left(\dfrac{r}{2\times10^{-3}}\right)}{r^{2}}\right)\hat{r}.
Didática curta: a densidade proporcional a r^{-3} transforma a integral em um log, por isso aparece \ln(r); ao dividir por r^{2} obtemos a dependência final em r^{-2} multiplicada por \ln(r).]

Passo 5

Região 3: r\ge 4\\ \mathrm{mm} (ou r\ge 4\times10^{-3}\\ \mathrm{m}).
Aqui \rho=0 para r\ge 4\times10^{-3}, então a carga total encerrada é a carga acumulada até r=4\times10^{-3}. Podemos tomar a expressão de Q_{\text{enc}}(r) do passo anterior e avaliar em r=4\times10^{-3}:
\begin{aligned} Q_{\text{total}}&= \frac{128\pi}{3}\times10^{-15} +128\pi\times10^{-21}\ln\!\left(\frac{4\times10^{-3}}{2\times10^{-3}}\right)\\[4pt] &=\frac{128\pi}{3}\times10^{-15} +128\pi\times10^{-21}\ln 2. \end{aligned}
Para r\ge 4\times10^{-3} o campo \mathbf{D} é o campo devido a essa carga puntiforme efetiva (simetricamente distribuída), então
\begin{aligned} D_r(r)&=\frac{Q_{\text{total}}}{4\pi r^{2}} =\frac{\dfrac{128\pi}{3}\times10^{-15}+128\pi\times10^{-21}\ln 2}{4\pi r^{2}}\\[6pt] &=\left(\frac{32}{3}\times10^{-15}+32\times10^{-21}\ln 2\right)\frac{1}{r^{2}}. \end{aligned}
Assim, para r\ge 4\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
\mathbf{D}(r)=\left(\frac{32}{3}\times10^{-15}+32\times10^{-21}\ln 2\right)\frac{1}{r^{2}}\hat{r}.]

Passo 6

Resumo das expressões em unidades SI e comentários finais:
  • Usei Gauss para \mathbf{D} porque pela simetria esférica \mathbf{D} é puramente radial e basta dividir a carga encerrada pela área esférica.
  • Tomei cuidado com unidades: mm para m e \mu\mathrm{C} para C.
  • As expressões acima são contínuas e válidas nos intervalos indicados; nota: em r=2\times10^{-3} e r=4\times10^{-3} pode-se verificar a continuidade fazendo limite à esquerda e à direita (devemos obter o mesmo D_r se não houver superfície carregada singular nessas superfícies).

Resposta

\displaystyle \mathbf{D}(r)=\left(\frac{4}{3}\times10^{-6}\,r\right)\hat{r}\quad\text{para }0\le r\le 2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.\n
\displaystyle \mathbf{D}(r)=\left(\frac{32}{3}\times10^{-15}\frac{1}{r^{2}}+32\times10^{-21}\frac{\ln\!\left(\dfrac{r}{2\times10^{-3}}\right)}{r^{2}}\right)\hat{r}\quad\text{para }2\times10^{-3}\le r\le 4\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.\n
\displaystyle \mathbf{D}(r)=\left(\frac{32}{3}\times10^{-15}+32\times10^{-21}\ln 2\right)\frac{1}{r^{2}}\hat{r}\quad\text{para }r\ge 4\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

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