Em coordenadas esféricas, \rho=4 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3} para 0 \leq r \leq 2 \mathrm{~mm}, \rho=32 \times 10^{-15} r^{-3} \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3} para 2 \leq r \leq 4 \mathrm{~mm} e \rho=0 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3} para 4 \leq r \leq \infty mm. Obtenha uma expressão para \mathbf{D}.
Passo 1
O enunciado dá uma densidade volumétrica de carga radialmente simétrica (em coordenadas esféricas) definida por partes em função de r. Precisamos encontrar o campo deslocamento elétrico \mathbf{D}. Dados fornecidos (notar que as distâncias vêm em mm, devemos trabalhar em metros nas contas):
Pergunta: obter uma expressão para \mathbf{D}(r) em toda a região. Observações importantes que usarei nas contas:
Vou converter os mm para metros: 2\\ \mathrm{mm}=2\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e 4\\ \mathrm{mm}=4\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Também converto \mu\mathrm{C} para coulombs: 1\\ \mu\mathrm{C}=10^{-6}\\ \mathrm{C}.
A resolução começa no próximo passo.]
Passo 2
Qual princípio usar e por quê. O campo \mathbf{D} satisfaz a forma integral da lei de Gauss (equivalente à forma diferencial \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho):
onde Q_{\text{enc}} é a carga total contida dentro da superfície fechada S. Pela simetria esférica da densidade (depende só de r), \mathbf{D} será radial e só depende de r:
\mathbf{D}(r)=D_r(r)\,\hat{r}.
Escolhemos como superfície Gaussiana uma esfera de raio r. Para essa esfera a área total é 4\pi r^2 e \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=D_r(r)\,dA. Assim
D_r(r)\,4\pi r^2=Q_{\text{enc}}(r).
Portanto a tarefa reduz-se a calcular Q_{\text{enc}}(r)=\displaystyle\int_{V(r)}\rho(r')\,dV e dividir por 4\pi r^2. O volume em coordenadas esféricas para integrar densidade radial é dV=4\pi r'^2 dr'. Vou fazer isso peça a peça, tomando cuidado com as conversões de unidades.
Passo 3
Região 1: 0\le r\le 2\\ \mathrm{mm} (ou 0\le r\le 2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}).
Aqui \rho=4\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^3=4\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^3.
O carregamento contido em uma esfera de raio r (com r menor que 2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}) é
Breve comentário didático: a dependência linear em r vem porque a carga dentro cresce como r^{3} (volume) e dividir por r^{2} dá r.]
Passo 4
Região 2: 2\\ \mathrm{mm}\le r\le 4\\ \mathrm{mm} (ou 2\times10^{-3}\le r\le 4\times10^{-3}\\ \mathrm{m}).
Aqui a densidade é \rho(r)=32\times10^{-15}\,r^{-3}\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}. Primeiro converto o fator \mu\mathrm{C} para C:
Didática curta: a densidade proporcional a r^{-3} transforma a integral em um log, por isso aparece \ln(r); ao dividir por r^{2} obtemos a dependência final em r^{-2} multiplicada por \ln(r).]
Passo 5
Região 3: r\ge 4\\ \mathrm{mm} (ou r\ge 4\times10^{-3}\\ \mathrm{m}).
Aqui \rho=0 para r\ge 4\times10^{-3}, então a carga total encerrada é a carga acumulada até r=4\times10^{-3}. Podemos tomar a expressão de Q_{\text{enc}}(r) do passo anterior e avaliar em r=4\times10^{-3}:
Resumo das expressões em unidades SI e comentários finais:
Usei Gauss para \mathbf{D} porque pela simetria esférica \mathbf{D} é puramente radial e basta dividir a carga encerrada pela área esférica.
Tomei cuidado com unidades: mm para m e \mu\mathrm{C} para C.
As expressões acima são contínuas e válidas nos intervalos indicados; nota: em r=2\times10^{-3} e r=4\times10^{-3} pode-se verificar a continuidade fazendo limite à esquerda e à direita (devemos obter o mesmo D_r se não houver superfície carregada singular nessas superfícies).