Coordenadas polares, coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas
Passar do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano, B\left(6, \frac{2 \pi}{3},-2\right)

Passo 1

O enunciado pede: transformar as coordenadas cilíndricas do ponto B para coordenadas cartesianas.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • Raio radial: r=6.
  • Ângulo polar: \theta=\dfrac{2\pi}{3}.
  • Altura: z=-2.
O que precisa ser encontrado: as coordenadas cartesianas (x,y,z) correspondentes a esse ponto.

Passo 2

Entendendo a relação entre os sistemas (fórmulas fundamentais).
Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z):
  • r é a distância do ponto ao eixo z (projeção no plano xy).
  • \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo no plano xy.
  • z é a mesma coordenada z do sistema cartesiano.
As fórmulas de conversão para coordenadas cartesianas são:
x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad z = z.
Aqui cada variável significa:
  • x: coordenada no eixo x.
  • y: coordenada no eixo y.
  • z: coordenada no eixo z (igual em ambos sistemas).
  • r: raio radial dado.
  • \theta: ângulo dado.

Passo 3

Calcular os valores de \cos\theta e \sin\theta para \theta=\dfrac{2\pi}{3}.
Usando a simetria do círculo trigonométrico: \dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}, portanto
\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}, \qquad \sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Calcular x usando x=r\cos\theta:
x = 6\cdot\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = 6\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -3.

Passo 5

Calcular y usando y=r\sin\theta:
y = 6\cdot\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = 6\cdot\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3\sqrt{3}.

Passo 6

A coordenada z permanece igual:
z = -2.

Passo 7

Verificação rápida (checagem de consistência): confirmar que r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
x^{2}+y^{2}=(-3)^{2}+(3\sqrt{3})^{2}=9+27=36, \qquad \sqrt{36}=6=r.
A verificação confirma que os cálculos estão consistentes.

Resposta

(-3,\;3\sqrt{3},\;-2)

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