As coordenadas dos vértices do triângulo A B C num plano cartesiano são A(-4,0), B(5,0) e C(sen theta, cos theta). Sendo theta um arco do primeiro quadrante da circunferência trigonométrica, e sendo a área do triângulo A B C maior que 94, o domínio de validade de theta é o conjunto:
Escolha uma opção:
] pi3, pi2[
[0, pi6[
] pi6, pi3[
[0, pi3[
Nenhuma das demais alternativas
[0, pi4[

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema. Temos um triângulo ABC no plano cartesiano com os vértices em A(-4,0), B(5,0) e C(sin theta, cos theta). Queremos descobrir para quais valores de theta, que está no primeiro quadrante, a área desse triângulo é maior que 94. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da área de um triângulo no plano cartesiano e trabalhar com trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um triângulo no plano cartesiano usando as coordenadas dos vértices. A fórmula é:
Área = 12 |xA(yB - yC) + xB(yC - yA) + xC(yA - yB)| Á
Onde (xA, yA), (xB, yB) e (xC, yC) são as coordenadas dos pontos A, B e C, respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar as coordenadas dos nossos pontos:
  • A(-4, 0)
  • B(5, 0)
  • C(sin theta, cos theta)
Agora, substituindo esses valores na fórmula da área:
Área = 12 |(-4)(0 - cos theta) + 5(cos theta - 0) + sin theta(0 - 0)| Á

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Área = 12 |(-4)(- cos theta) + 5 cos theta + 0| Á
Calculando os produtos:
Área = 12 |4 cos theta + 5 cos theta| Á
Área = 12 |9 cos theta| Á
Como cos theta é positiva no primeiro quadrante, podemos retirar o valor absoluto:
Área = 9 cos theta2 Á

Passo 5

Queremos que a área seja maior que 94. Então, estabelecemos a inequação:
9 cos theta2 > 94
Vamos resolver essa inequação para encontrar o intervalo de theta.

Passo 6

Multiplicando ambos os lados da inequação por 2 para eliminar o denominador:
9 cos theta > 92
Agora, dividindo ambos os lados por 9:
cos theta > 12

Passo 7

Sabemos que no primeiro quadrante, cos theta é uma função decrescente. A desigualdade cos theta > 12 ocorre quando:
0 < theta < pi3
Portanto, o valor de theta deve estar entre 0 e pi3 para que a área do triângulo seja maior que 94.

Resposta

O domínio de validade de theta é [0, pi3[.

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