As coordenadas dos vértices do triângulo
num plano cartesiano são
,
e
. Sendo
um arco do primeiro quadrante da circunferência trigonométrica, e sendo a área do triângulo
maior que
, o domínio de validade de
é o conjunto:
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema. Temos um triângulo
no plano cartesiano com os vértices em
,
e
. Queremos descobrir para quais valores de
, que está no primeiro quadrante, a área desse triângulo é maior que
. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da área de um triângulo no plano cartesiano e trabalhar com trigonometria básica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um triângulo no plano cartesiano usando as coordenadas dos vértices. A fórmula é:
Onde
,
e
são as coordenadas dos pontos
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos identificar as coordenadas dos nossos pontos:
Agora, substituindo esses valores na fórmula da área:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Calculando os produtos:
Como
é positiva no primeiro quadrante, podemos retirar o valor absoluto:
Passo 5
Queremos que a área seja maior que
. Então, estabelecemos a inequação:
Vamos resolver essa inequação para encontrar o intervalo de
.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados da inequação por
para eliminar o denominador:
Agora, dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Sabemos que no primeiro quadrante,
é uma função decrescente. A desigualdade
ocorre quando:
Portanto, o valor de
deve estar entre
e
para que a área do triângulo seja maior que
.
Resposta
O domínio de validade de
é
.