Para a curva dada por r(t)=(sen^3(t), cos ^3(t), sen^2(t)), 0 <= t <= pi / 2, encontre:
o vetor tangente unitário;

Passo 1

O enunciado pede o vetor tangente unitário à curva r(t) = (sin^3t,,cos^3t,,sin^2t) para 0<= t<=pi/2. Isso é conteúdo de cálculo vetorial: vamos usar a definição T(t)=dfrac r'(t)| r'(t)|.

Passo 2

Primeiro vamos derivar r(t) componente a componente, aplicando a regra da cadeia:
$$\mathbf r’(t)=\Bigl(3\sin^2t\cos t,;-3\cos^2t\sin t,;2\sin t\cos t\Bigr).
$$

Passo 3

Em seguida calculamos o módulo de r'(t). Fatorando sin tcos t e usando sin^2t+cos^2t=1, temos
|r'(t)| = raiz9sin^4tcos^2t +9cos^4tsin^2t +4sin^2tcos^2t =raiz13,sin^2tcos^2t =raiz13;sin tcos t,

Passo 4

Finalmente dividimos r'(t) por seu módulo e simplificamos sin tcos t (não zero em 0) para obter
T(t)=1raiz13,sin tcos t,(3sin^2tcos t,,-3cos^2tsin t,,2sin tcos t) =(tfrac3raiz13sin t,,-tfrac3raiz13cos t,,tfrac2raiz13)

Resposta

T(t)=l(tfrac3raiz13sin t,,-tfrac3raiz13cos t,,tfrac2raiz13r)

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