Marque a opção com d yd x obtido por derivação implicita de 2 x y^2-y ln x=1.
(a) y^2-2 x y^24 x y-ln x
(b) ln x-2 x y^24 x y-ln x
© y-2 x y^24 x^2 y-x ln x
(d) y-4 x y2 x y^2-ln x
(e) 2 y^2-x y4 x^2 y-x ln x

Passo 1

Temos a equação 2 x y^2 - y ln x = 1. O conteúdo é derivação implícita, e vamos usar regra do produto e derivada de ln para diferenciar ambos os lados em relação a x.

Passo 2

Derivando o primeiro termo 2 x y^2: aplicando produto em x e y^2 2l(y^2 + xcdot 2ydydxr)=2y^2+4xydydx. Derivando -yln x: usando produto em y e ln x -l(dydxln x + ycdot1xr). A soma deve ser igual a derivada de 1, que é zero.

Passo 3

Agrupando os termos que envolvem dydx e isolando-os, obtemos
4xydydx-ln xdydx+2y^2-yx=0
De onde
dydx(4xy-ln x)=yx-2y^2

Passo 4

Resolvendo para dydx, escrevemos yx-2y^2=y-2xy^2x e então
dydx=y-2xy^2x4xy-ln x=y-2xy^2x(4xy-ln x)
Isso coincide com a forma y-2xy^24x^2y-xln x.

Resposta

Opção ©: y-2 x y^24 x^2 y - x ln x.

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