Um copo de papel em forma de cone é feito de maneira a conter
de água. Ache a altura e o raio do copo que usa a menor quantidade possível de papel.
Passo 1
O problema diz que temos um copo em forma de cone reto que deve conter
de água e que queremos usar a menor quantidade de papel possível.
Conteúdo: otimização com restrição. Precisamos das fórmulas do volume de um cone
Conteúdo: otimização com restrição. Precisamos das fórmulas do volume de um cone
e da área lateral de um cone
Passo 2
Pela condição de volume
, temos
Passo 3
A área de papel usada é a área lateral
Como
depende de
, é problema de otimização com restrição.
Passo 4
Aplicamos multiplicadores de Lagrange definindo
Passo 5
Derivada em relação a
:
Passo 6
Derivada em relação a
:
Substituindo
e simplificando, obtém–se
Passo 7
Usando
na condição de volume
e então
Resposta
O raio e a altura que minimizam o papel são: