Um copo de papel em forma de cone é feito de maneira a conter 27 \mathrm{~cm}^{3} de água. Ache a altura e o raio do copo que usa a menor quantidade possível de papel.

Passo 1

O problema diz que temos um copo em forma de cone reto que deve conter \,27\text{ cm}^3 de água e que queremos usar a menor quantidade de papel possível.
Conteúdo: otimização com restrição. Precisamos das fórmulas do volume de um cone
V=\frac{1}{3}\pi r^2h
e da área lateral de um cone
A_{\text{lat}}=\pi r s,\quad s=\sqrt{r^2+h^2}.

Passo 2

Pela condição de volume \,V=27, temos
\frac{1}{3}\pi r^2h=27 \quad\Longrightarrow\quad h=\frac{81}{\pi\,r^2}.

Passo 3

A área de papel usada é a área lateral
A(r,h)=\pi\,r\,\sqrt{r^2+h^2}.
Como h depende de r, é problema de otimização com restrição.

Passo 4

Aplicamos multiplicadores de Lagrange definindo
\mathcal L(r,h,\lambda) =\pi r\sqrt{r^2+h^2} +\lambda\Bigl(\tfrac{1}{3}\pi r^2h-27\Bigr).

Passo 5

Derivada em relação a h:
\frac{\partial\mathcal L}{\partial h} =\pi\,r\frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}} +\lambda\frac{1}{3}\pi r^2=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=-3\,\frac{h}{r\sqrt{r^2+h^2}}.

Passo 6

Derivada em relação a r:
\frac{\partial\mathcal L}{\partial r} =\pi\sqrt{r^2+h^2} +\pi r\frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}} +\lambda\frac{2}{3}\pi r h=0.
Substituindo \lambda e simplificando, obtém–se
2r^2-h^2=0 \quad\Longrightarrow\quad h^2=2\,r^2 \quad\Longrightarrow\quad h=\sqrt2\,r.

Passo 7

Usando h=\sqrt2\,r na condição de volume
\frac{1}{3}\pi r^2(\sqrt2\,r)=27 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sqrt2}{3}\pi r^3=27 \quad\Longrightarrow\quad r^3=\frac{81}{\sqrt2\,\pi} \quad\Longrightarrow\quad r=\Bigl(\tfrac{81}{\sqrt2\,\pi}\Bigr)^{\!1/3},
e então
h=\sqrt2\,r =\sqrt2\,\Bigl(\tfrac{81}{\sqrt2\,\pi}\Bigr)^{\!1/3}.

Resposta

O raio e a altura que minimizam o papel são:
r=\Bigl(\frac{81}{\sqrt2\,\pi}\Bigr)^{\!1/3}\text{ cm}, \qquad h=\sqrt2\,\Bigl(\frac{81}{\sqrt2\,\pi}\Bigr)^{\!1/3}\text{ cm}.

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