(a) Se C(x) for o custo para produzir x unidades de uma mercadoria, então o custo médio por unidade é c(x)=C(x) / x. Mostre que se o custo médio for mínimo, então o custo marginal C^{\prime}(x) é igual ao custo médio.
(b) Se C(x)=16000+200 x+4 x^{3 / 2}, em reais, encontre (i) o custo, o custo médio e o custo marginal no nível de produção de 1000 unidades; (ii) o nível de produção que minimizará o custo médio; e (iii) o custo médio mínimo.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte (a) queremos mostrar, de forma geral, que se o custo médio
c(x)=\frac{C(x)}{x}
é mínimo então o custo marginal
C'(x)
é igual a c(x). Na parte (b) temos a função custo
C(x)=16000 + 200x + 4x^{3/2}
e precisamos calcular em x=1000 o custo, o custo médio e o custo marginal; depois achar o x que minimiza o custo médio e o valor mínimo desse custo médio.

Passo 2

Para estudar quando c(x) é mínimo, calculamos sua derivada e igualamos a zero. Como
c(x)=\frac{C(x)}{x},
usamos a regra do quociente e obtemos
c'(x) =\frac{x\,C'(x)-C(x)}{x^2}.
O ponto crítico vem de c'(x)=0, ou seja,
x\,C'(x)-C(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad C'(x)=\frac{C(x)}{x}=c(x).
Isso mostra a relação pedida na parte (a).

Passo 3

Agora, com C(x)=16000+200x+4x^{3/2}, temos
c(x)=\frac{C(x)}{x} =\frac{16000}{x}+200+4\sqrt{x},
C'(x)=200+4\cdot\frac{3}{2}x^{1/2} =200+6\sqrt{x}.

Passo 4

Para x=1000:
C(1000)=16000+200\cdot1000+4\,(1000)^{3/2} =16000+200000+4\cdot1000\sqrt{1000} =16000+200000+40000\sqrt{10},
c(1000)=\frac{C(1000)}{1000} =16+200+4\sqrt{1000} =216+40\sqrt{10},
C'(1000)=200+6\sqrt{1000} =200+60\sqrt{10}.

Passo 5

Para minimizar c(x), derivamos
c'(x)=-\frac{16000}{x^2}+2\,x^{-1/2}
e igualamos a zero:
-\frac{16000}{x^2} + \frac{2}{\sqrt{x}}=0 \quad\Longrightarrow\quad 2\,x^{3/2}=16000 \quad\Longrightarrow\quad x^{3/2}=8000 \quad\Longrightarrow\quad x=8000^{2/3}=400.

Passo 6

O custo médio mínimo é
c(400)=\frac{16000}{400}+200+4\sqrt{400} =40+200+80 =320.

Resposta

(a) Se c(x) é mínimo então c'(x)=0 implica C'(x)=c(x).
(b)(i) C(1000)=16000+200000+40000\sqrt{10}, c(1000)=216+40\sqrt{10}, C'(1000)=200+60\sqrt{10}.
(ii) Nível que minimiza o custo médio: x=400.
(iii) Custo médio mínimo: 320.

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