(a) Se
for o custo para produzir
unidades de uma mercadoria, então o custo médio por unidade é
. Mostre que se o custo médio for mínimo, então o custo marginal
é igual ao custo médio.
(b) Se
, em reais, encontre (i) o custo, o custo médio e o custo marginal no nível de produção de 1000 unidades; (ii) o nível de produção que minimizará o custo médio; e (iii) o custo médio mínimo.
(b) Se
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na parte (a) queremos mostrar, de forma geral, que se o custo médio
é mínimo então o custo marginal
é igual a
. Na parte (b) temos a função custo
e precisamos calcular em
o custo, o custo médio e o custo marginal; depois achar o
que minimiza o custo médio e o valor mínimo desse custo médio.
Passo 2
Para estudar quando
é mínimo, calculamos sua derivada e igualamos a zero. Como
usamos a regra do quociente e obtemos
O ponto crítico vem de
, ou seja,
Isso mostra a relação pedida na parte (a).
Passo 3
Agora, com
, temos
Passo 4
Para
:
Passo 5
Para minimizar
, derivamos
e igualamos a zero:
Passo 6
O custo médio mínimo é
Resposta
(a) Se
é mínimo então
implica
.
(b)(i) ,
,
.
(ii) Nível que minimiza o custo médio: .
(iii) Custo médio mínimo: .
(b)(i)
(ii) Nível que minimiza o custo médio:
(iii) Custo médio mínimo: